Une convexité stricte plus une affinité asymptotique implique-t-elle une moyenne bornée?

Question

Je ne sais pas si c'est exactement au niveau de la recherche, mais j'ai du mal à trouver une preuve de l'affirmation suivante:

Laisser $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ être un $C^2$ fonction strictement convexe.

Laisser $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ satisfaire $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ et supposons que $c_n \to c>c_0$.

Ensemble $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, et supposons que $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

Question: Doit$b_n$ être borné?

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J'ai une preuve assez simple (que je présente ci-dessous) pour le cas particulier où $a_n=a,c_n=c$ sont des séquences constantes, mais j'ai du mal à les généraliser.

La preuve du cas simplifié:

Nous avons $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$.

Donné $x \ge r$, laisser $\lambda(x) \in [0,1]$ être le numéro unique satisfaisant $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ Nous avons $\lambda(b_n)=\lambda_n$. Définir$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

La convexité stricte de $F$ implique que $g$ est une fonction strictement croissante de $x$.

L'hypothèse $D_n \to 0$ est équivalent à $g(b_n) \to F(c)$. Puisque$g(b_n) \ge F(c)$ (par convexité) et $g$ est strictement croissante, nous concluons que $b_n$ doit être délimité.

Answer 1

Oui, $b_n$doit être délimité. Supposons le contraire. En passant à une sous-séquence, nous pouvons supposer que$a_n\to a$, $b_n\to \infty$. Nous avons$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ et en utilisant $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ on a $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ Donc $\liminf D_n>0$.