Une question sur le calcul des attentes [dupliquer]

Question

Laisser$X$et$Y$être deux variables aléatoires.

Je remarque qu'un livre déclare$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$sans preuve.

Je pense que, pour le cas le plus simple, la preuve peut être la suivante : -$E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Mais que se passe-t-il si les probabilités correspondantes pour Y sont$q_i$et$p_i \ne q_i$en général?

Answer 1

Note : par souci de simplicité j'écrirai$f(x,y)$à la place de$f_{XY}(x,y)$. La preuve suivante est dans le cas continu, mais une preuve similaire est dans le cas discret ou en général

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

EDIT : Cas discret

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$