Valeurs propres d'une matrice presque diagonale [duplicate]
Je sais que la valeur propre d'une matrice diagonale est simplement les valeurs de la diagonale. Cependant, si j'ai une matrice de la forme suivante:
$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$Existe-t-il une manière fermée d'exprimer les valeurs propres de cette matrice? Je peux dériver la valeur propre des petits blocs le long de la diagonale, mais comment se rapporte-t-elle à la matrice globale?
Réponses
Les valeurs propres d'une matrice diagonale de bloc sont les valeurs propres de chaque bloc. Les vecteurs propres correspondants sont les vecteurs propres de chaque bloc remplis de zéros. Par exemple:
Les valeurs propres de la matrice $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ sont $7$ et $1$, et les vecteurs propres correspondants sont respectivement $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$
Les valeurs propres de la matrice $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ sont $2+\sqrt{2}$, $2$, et $2-\sqrt{2}$ et les vecteurs propres correspondants sont respectivement $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$
Les valeurs propres de la matrice $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ sont $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, et $2-\sqrt{2}$, et les vecteurs propres correspondants sont respectivement $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$
Si vous avez une matrice de blocs $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ son polynôme caractéristique est $p_A(x)p_B(x)$.