Statistik - Estimasi Interval

Estimasi interval adalah penggunaan data sampel untuk menghitung interval nilai yang mungkin (atau kemungkinan) dari parameter populasi yang tidak diketahui, berbeda dengan estimasi titik, yang merupakan angka tunggal.

Rumus

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Dimana -

$ {\ bar x} $ = berarti
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = koefisien keyakinan
$ {\ alpha} $ = tingkat kepercayaan
$ {\ sigma} $ = deviasi standar
$ {n} $ = ukuran sampel

Contoh

Problem Statement:

Misalkan seorang siswa yang mengukur suhu didih cairan tertentu mengamati bacaan (dalam derajat Celcius) 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5, dan 102.2 pada 6 sampel cairan yang berbeda. Dia menghitung mean sampel menjadi 101,82. Jika ia mengetahui bahwa standar deviasi untuk prosedur ini adalah 1,2 derajat, berapakah estimasi interval untuk rata-rata populasi pada tingkat kepercayaan 95%?

Solution:

Siswa menghitung rata-rata sampel suhu didih menjadi 101,82, dengan deviasi standar $ {\ sigma = 0,49} $. Nilai kritis untuk interval keyakinan 95% adalah 1,96, di mana $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Interval kepercayaan 95% untuk mean yang tidak diketahui.

$ {= ((101,82 - (1,96 \ kali 0,49)), (101,82 + (1,96 \ kali 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

Ketika tingkat kepercayaan menurun, ukuran interval yang sesuai akan berkurang. Misalkan siswa tertarik pada interval kepercayaan 90% untuk suhu didih. Dalam kasus ini, $ {\ sigma = 0,90} $, dan $ {\ frac {1-0,90} {2} = 0,05} $. Nilai kritis untuk level ini adalah 1,645, jadi interval kepercayaan 90% adalah

$ {= ((101,82 - (1,645 \ kali 0,49)), (101,82 + (1,645 \ kali 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101,01, 102,63)} $

Peningkatan ukuran sampel akan menurunkan panjang interval kepercayaan tanpa mengurangi tingkat kepercayaan. Ini karena deviasi standar menurun dengan bertambahnya n.

Margin of Error

Margin of error $ {m} $ estimasi interval didefinisikan sebagai nilai tambah atau pengurangan dari mean sampel yang menentukan panjang interval:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Misalkan dalam contoh di atas, siswa ingin memiliki margin of error sebesar 0,5 dengan tingkat kepercayaan 95%. Mengganti nilai yang sesuai ke dalam ekspresi $ {m} $ dan menyelesaikan n memberikan kalkulasi.

$ {n = {(1,96 \ times \ frac {1,2} {0,5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2,35} {0,5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4,7 )} ^ 2 \ = 22,09} $

Untuk mencapai estimasi interval 95% untuk titik didih rata-rata dengan panjang total kurang dari 1 derajat, siswa harus melakukan 23 kali pengukuran.