Statistik - Teorema Perkalian Probabilitas

Untuk Acara Independen

Teorema menyatakan bahwa probabilitas kemunculan simultan dari dua peristiwa yang independen diberikan oleh produk dari probabilitas individualnya.

$ {P (A \ dan \ B) = P (A) \ kali P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ kali P (B)} $

Teorema dapat diperluas ke tiga atau lebih peristiwa independen juga sebagai

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ kali P (B) \ kali P (C) P (A, B \ dan \ C) = P (A) \ kali P (B) \ kali P (C)} $

Contoh

Problem Statement:

Perguruan tinggi harus menunjuk seorang dosen yang harus B.Com., MBA, dan Ph. D, kemungkinannya adalah $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $, dan $ {\ frac {1} {40}} $ masing-masing. Temukan kemungkinan mendapatkan orang seperti itu untuk ditunjuk oleh perguruan tinggi.

Solution:

Probabilitas seseorang menjadi B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilitas seseorang menjadi MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilitas seseorang menjadi Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Menggunakan teorema perkalian untuk acara independen

$ {P (A, B \ dan \ C) = P (A) \ kali P (B) \ kali P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Untuk Peristiwa Tergantung (Probabilitas Bersyarat)

Seperti yang didefinisikan sebelumnya, peristiwa dependen adalah kejadian atau tidak terjadinya satu peristiwa yang mempengaruhi hasil dari peristiwa berikutnya. Untuk kejadian seperti itu, teorema perkalian yang dinyatakan sebelumnya tidak dapat diterapkan. Probabilitas yang terkait dengan kejadian tersebut disebut probabilitas bersyarat dan diberikan oleh

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ atau $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Baca P (A / B) sebagai probabilitas kemunculan peristiwa A ketika peristiwa B sudah terjadi.

Demikian pula probabilitas bersyarat dari B diberikan A.

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ atau $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Contoh

Problem Statement:

Koin dilemparkan 2 kali. Lemparan itu menghasilkan satu kepala dan satu ekor. Berapa probabilitas lemparan pertama menghasilkan ekor?

Solution:

Ruang sampel koin yang dilempar dua kali diberikan sebagai S = {HH, HT, TH, TT}

Biarkan Peristiwa A menjadi lemparan pertama yang menghasilkan ekor.

Peristiwa B terjadi satu ekor dan satu kepala.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Jadi \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $