Statistik - Teorema Aditif Probabilitas

Untuk Acara Saling Eksklusif

Teorema aditif probabilitas menyatakan jika A dan B adalah dua peristiwa yang saling eksklusif maka probabilitas A atau B diberikan oleh

$ {P (A \ atau \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cangkir B) = P (A) + P (B)} $

Teorema dapat diperluas menjadi tiga peristiwa yang saling eksklusif juga sebagai

$ {P (A \ cangkir B \ cangkir C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Contoh

Problem Statement:

Sebuah kartu diambil dari paket 52, berapakah probabilitas bahwa itu adalah raja atau ratu?

Solution:

Misal Event (A) = Draw dari kartu raja

Acara (B) Pengundian kartu ratu

P (kartu seri adalah raja atau ratu) = P (kartu adalah raja) + P (kartu adalah ratu)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Untuk Acara Non-Saling Eksklusif

Jika ada kemungkinan kedua peristiwa tersebut terjadi maka teorema aditif ditulis sebagai:

$ {P (A \ atau \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ dan \ B) \\ [7pt] P (A \ cangkir B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Contoh

Problem Statement:

Seorang penembak dikenal untuk mencapai target 3 dari 7 tembakan; jika penembak lain diketahui mengenai target 2 dari 5 tembakan. Temukan kemungkinan target tercapai sama sekali ketika keduanya mencoba.

Solution:

Peluang penembak pertama mengenai target P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Peluang penembak kedua mengenai target P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Peristiwa A dan B tidak saling eksklusif karena kedua penembak dapat mencapai target. Karenanya aturan aditif yang berlaku adalah

$ {P (A \ cangkir B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $