Statistik - Regresi linier

Setelah tingkat hubungan antar variabel telah ditetapkan dengan menggunakan analisis hubungan, wajar untuk menyelidiki sifat hubungan. Analisis regresi membantu dalam menentukan sebab dan akibat hubungan antar variabel. Nilai variabel lain (disebut variabel dependen) dapat diprediksi jika nilai variabel independen dapat diprediksi menggunakan metode grafik atau metode aljabar.

Metode Grafis

Ini melibatkan menggambar diagram pencar dengan variabel independen pada sumbu X dan variabel dependen pada sumbu Y. Setelah itu, sebuah garis dibuat sedemikian rupa sehingga melewati sebagian besar distribusi, dengan titik-titik yang tersisa didistribusikan hampir merata di kedua sisi garis.

Garis regresi dikenal sebagai garis paling sesuai yang merangkum pergerakan data secara umum. Ini menunjukkan nilai rata-rata terbaik dari satu variabel yang sesuai dengan nilai rata-rata yang lain. Garis regresi didasarkan pada kriteria bahwa itu adalah garis lurus yang meminimalkan jumlah deviasi kuadrat antara nilai prediksi dan nilai observasi dari variabel dependen.

Metode Aljabar

Metode aljabar mengembangkan dua persamaan regresi yaitu X atas Y, dan Y atas X.

Persamaan regresi Y atas X

$ {Y = a + bX} $

Dimana -

$ {Y} $ = Variabel tergantung
$ {X} $ = Variabel independen
$ {a} $ = Konstan menampilkan titik potong Y
$ {b} $ = Konstanta menunjukkan kemiringan garis

Nilai a dan b diperoleh dengan persamaan normal berikut:

$ {\ jumlah Y = Na + b \ jumlah X \\ [7pt] \ jumlah XY = a \ jumlah X + b \ jumlah X ^ 2} $

Dimana -

$ {N} $ = Jumlah observasi

Persamaan regresi X atas Y

$ {X = a + bY} $

Dimana -

$ {X} $ = Variabel bergantung
$ {Y} $ = Variabel independen
$ {a} $ = Konstan menampilkan titik potong Y
$ {b} $ = Konstanta menunjukkan kemiringan garis

Nilai a dan b diperoleh dengan persamaan normal berikut:

$ {\ jumlah X = Na + b \ jumlah Y \\ [7pt] \ jumlah XY = a \ jumlah Y + b \ jumlah Y ^ 2} $

Dimana -

$ {N} $ = Jumlah observasi

Contoh

Problem Statement:

Seorang peneliti menemukan bahwa ada hubungan yang erat antara kecenderungan berat badan ayah dan anak. Dia sekarang tertarik untuk mengembangkan persamaan regresi pada dua variabel dari data yang diberikan:

Berat badan ayah (dalam Kg)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
Berat Anak (dalam Kg)	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

Mengembangkan

Persamaan regresi Y atas X.
Persamaan regresi pada Y.

Solution:

$ {X} $	$ {X ^ 2} $	$ {Y} $	$ {Y ^ 2} $	$ {XY} $
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
$ {\ jumlah X = 800} $	$ {\ jumlah X ^ 2 = 53.402} $	$ {\ jumlah Y = 810} $	$ {\ jumlah Y ^ 2 = 54.750} $	$ {\ jumlah XY = 54.059} $

Persamaan regresi Y atas X

Y = a + bX

Dimana, a dan b diperoleh dengan persamaan normal

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt] Di mana \ \ sum Y = 810, \ sum X = 800 , \ jumlah X ^ 2 = 53.402 \\ [7pt], \ jumlah XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ... (i)

$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ... (ii)

Mengalikan persamaan (i) dengan 800 dan persamaan (ii) dengan 12, kita mendapatkan:

96000 a + 640000 b = 648000 ... (iii)

96000 a + 640824 b = 648588 ... (iv)

Mengurangi persamaan (iv) dari (iii)

-824 b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = -,0713

Mengganti nilai b dalam persamaan. (saya)

810 = 12a + 800 (-0,713)

810 = 12a + 570,4

12a = 239,6

$ {\ Rightarrow} $ a = 19,96

Oleh karena itu persamaan Y pada X dapat dituliskan sebagai

$ {Y = 19,96 - 0,713X} $

Persamaan regresi X atas Y

X = a + bY

Dimana, a dan b diperoleh dengan persamaan normal

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt] Di mana \ \ sum Y = 810, \ sum Y ^ 2 = 54.750 \\ [7pt], \ jumlah XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ... (V)

$ {\ Rightarrow} $ 54.049 = 810a + 54, 750 ... (vi)

Mengalikan eq (v) dengan 810 dan eq (vi) dengan 12, kita dapatkan

9720 a + 656100 b = 648000 ... (vii)

9720 a + 65700 b = 648588 ... (viii)

Mengurangi persamaan viii dari persamaan vii

900b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = 0,653

Mensubstitusi nilai b pada persamaan (v)

800 = 12a + 810 (0,653)

12a = 271,07

$ {\ Rightarrow} $ a = 22,58