Funkcja generująca wielomian Hermite'a

Question

Jak mógłbym napisać następujący wielomian w kategoriach wielomianów Hermite'a, $H_n(z)$? \ begin {equation} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {equation} Zauważyłem$H_n(iaz)$ wydaje się blisko, ale $a^k$ ten czynnik jest zagadkowy.

Wyrażenie to uzyskuje się z rozwinięcia szeregowego szeregu Taylora \ begin {equation} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ 2} \ end {equation} Czy istnieje zbiór wielomianów, które można znaleźć w \ begin {equation} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ m} \ end {equation} gdzie$m=2,3,\dots$?

Answer 1

Chcesz $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ co z tego, jeśli przyjmiesz argument $(-a)^{n/2}$ i pomnóż przez ten współczynnik, otrzymasz $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ Więc $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$