Iloczyn średnich

Question

Pozwolić $(x_1,...,x_n)$ i $(y_1,...,y_n)$ być dwiema różnymi krotkami pozytywnych rzeczywistych $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Czy to prawda, że$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Myślę, że powinno to wynikać z argumentu wklęsłości, być może dotyczącego funkcji $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, ale nie wiem, jak dokładnie.

Answer 1

Nierówność między średnimi arytmetycznymi i geometrycznych członkowskich, które$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ dla $x, y \ge 0$, z równością wtedy i tylko wtedy, gdy $x=y$.

Wynika, że $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ z równością wtedy i tylko wtedy, gdy $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Jeśli chcesz użyć argumentu wklęsłości, rozważ $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ jest wklęsła jako suma funkcji wklęsłych.

Answer 2

Według posiadacza $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$