Integracja Riemana, mapowanie nieciągłe

Question

Okazać się $f\in\mathcal{R}$, kiedy $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, takie że $f(x)=x$ kiedy $x \neq 1$, i $f(x)=-1$, kiedy $x=1$. Więc$f$ ma nieciągłość przy $1$.

Pozwolić $P$ być partycją $[0,2]$, takie że $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

W tej partycji rozważamy tylko te podprzedziały, które znajdują się na lewo lub na prawo od $1$. Dzieje się tak, ponieważ subinterval$\Delta x_i$, który zawiera punkt nieciągłości, nie ma supremum $M_i$odpowiadające temu. Raczej,$M_i$ jest arbitralnie blisko $1$ a to jest duży ból głowy, jeśli chodzi o dowody.

Oto rzeczywisty dowód. Pozwolić$P$być takie jak powyżej. Następnie$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

iw tym przypadku $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. Czy to jest poprawne?

Answer 1

Wybrałeś partycję $P$ z punktami

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

W tym przypadku,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

co zwykle $0$ tak jak $n$ ma zwyczaj $\infty$.

Stąd dla każdego $\epsilon > 0$ możemy znaleźć taki podział, że różnica między górną i dolną sumą jest mniejsza niż $\epsilon$, udowadniając to $f$ jest integrowalna według kryterium Riemanna.