K-teoria $C^{*}(X)$

Question

Jestem nowy w teorii K dla $C^{*}$-algebra i $C^{*}$-algebra grup.

Gdyby $X$ jest grupą skończonych bijekcji podpierających liczb naturalnych, to czym jest teoria K. $C^{*}(X)$?

Planowałem obliczyć $C^{*}(X)$ najpierw, a potem jego rzuty i ich klasy homotopii, ale nie udało mi się ustalić $C^{*}(X)$ na pierwszym miejscu.

Oto definicja $C^{*}$-algebra grupy:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Czy ktoś może mi pomóc?

Wielkie dzięki.

Answer 1

Grupa, którą opisujesz, powinna być nieskończoną grupą symetryczną $S_{\infty}$. Plik$K$-teoria jego $C^*$-algebra została określona przez Kerova i Vershika w

K -funktor (grupa Grothendiecka) nieskończonej grupy symetrycznej https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Główny wynik można podsumować następująco: Niech $\mathcal{A}$być pierścieniem symetrycznych wielomianów w nieskończenie wielu zmiennych. To jest izomorficzne do$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, gdzie $a_i$ jest $i$elementarna funkcja symetryczna w nieskończonej liczbie argumentów. Następnie$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ Izomorfizm wysyła nieredukowalną reprezentację $\pi_{\lambda}$ odpowiadający diagramowi Younga $\lambda$ do funkcji Schura odpowiadającej $\lambda$. Jest to również izomorfizm pierścieni, gdzie struktura pierścienia po lewej stronie pochodzi z obserwacji tego$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ i mnoży dwie reprezentacje $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ i $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ do $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ gdzie $S_n \times S_m$ siedzi w środku $S_{n+m}$ z $S_n$ permutowanie pierwszego $n$ elementy i $S_m$ permutując drugiego $m$.