Klejenie pól wektorowych

Question

Pozwolić $M$ być gładką rozmaitością i $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$gładki powiązany atlas. Mam gładkie pola wektorowe$X_i$ na każdym $U_i$ takie, że dla $i, j \in I$, $X_i$ i $X_j$ są równe $U_i \cap U_j$. Czy istnieje twierdzenie, które pozwala mi „skleić” te pola wektorowe,$i.e.$ czy istnieje (unikalne) pole wektorowe $X$ na $M$ takie że $X\big|_{U_i} = X_i$? Dziękuję Ci bardzo!

Answer 1

Tak, w rzeczywistości mamy nieco bardziej ogólny wynik, który pojawia się we wstępie Lee do Smooth Manifolds 2nd ed, w następujący sposób:

Wniosek 2.8 (lemat klejenia gładkich map) Let$M$ i $N$ być gładkimi rozmaitościami z granicą lub bez, i niech $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ być otwartą przykrywką $M$. Załóżmy, że dla każdego$\alpha \in A$, otrzymujemy gładką mapę $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ takie, że mapy zgadzają się co do nakładania się: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ dla wszystkich $\alpha$ i $\beta$. Istnieje też wyjątkowa gładka mapa$F : M \to N$ takie że $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ dla każdego $\alpha \in A$.

To tylko konsekwencja faktu, że jeśli mapa $F: M \to N$ lokalnie jest gładka, to mapa $F$ jest gładka.