Kompaktowy integralny operator?

Question

Natknąłem się na interesujący operator liniowy. Nie jestem pewien, czy jest kompaktowy:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Próbowałem użyć następującego argumentu: Niech $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ być ograniczonym i niech $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ być podciągiem o słabej granicy $f \in L^2([0, 1])$. Następnie:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Wciąż mogę to udowodnić $\sup$ jest osiągany na niektórych $x_{n_k} \in [0, 1]$ ale to mi nie pomaga z powodu uzależnienia od $n_k$. W przeciwnym razie użyłbym słabej konwergencji w tym momencie.

Czy jest łatwiejszy sposób, czy to jest operator nawet kompaktowy?

Answer 1

Jest to operator rangi skończonej, a zatem zwarty: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ gdzie $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, więc obraz ograniczonego zbioru jest ograniczonym podzbiorem trójwymiarowej podprzestrzeni $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Jeśli $k(x,y)=a(x)b(y)$, gdzie $a$ i $b$ są włączone funkcje ciągłe $[0,1]$, następnie $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Dlatego operator całkowy $T_k$, podane przez integralne jądro $k$spełnia $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$, aw konsekwencji $T_k$jest postrzegany jako operator rangi jeden. Jeśli zamiast tego$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ gdzie $a_i$ i $b_i$ są ponownie włączone funkcje ciągłe $[0,1]$, odpowiedni operator całkowy spełnia $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ więc ranga $T_k$ jest najwyżej $n$, stąd skończone.

Jeśli następnie przyjmiemy, że $k$ to jednolita granica funkcji $k_n$ formularza (1), nietrudno to zauważyć $T_{k_n}\to T_k$, w normie operatora, tak $T_k$ jest operatorem zwartym, ponieważ jest granicą operatorów rang skończonych.

Twierdzenie Stone-Weierstrassa można łatwo przywołać, aby wykazać, że podzbiór $C([0,1]\times[0,1])$ utworzony przez wszystkie funkcje postaci (1) jest gęsty, więc konkluzja powyższego akapitu obowiązuje dla dowolnej ciągłości $k$. To dowodzi:

Twierdzenie . Dowolny operator integralny włączony$L^2[0,1]$ z ciągłym integralnym jądrem jest kompaktowy.