Lemat Dynkin pi-system

Question

Mam dość trywialne pytanie, z którym naprawdę nie potrafię się uporać i mam wrażenie, że brakuje mi czegoś prostego, więc mam nadzieję, że uda mi się wyjaśnić ten problem tutaj.

Lemat stwierdza: Jeśli G jest $\pi$-system, a następnie $d$-system (dynkin-system) wygenerowany przez G to $\sigma$-pole wygenerowane przez G.

W posiadanym przeze mnie dowodzie konstruujemy następujący zbiór: $D_{1}$ = {B. $\in$ $d(G)$ : $\forall$ do $\in$ G, B $\cap$ do $\in$ $d(G)$ }

i to pokazujemy $D_{1}$ jest w rzeczywistości $d$-system. Jestem zadowolony z pozostałej części dowodu, ale staram się zrozumieć, dlaczego cały zestaw$\Omega \in D_{1}$?

Z definicji systemu dynkina wiem, że musimy go mieć $\Omega \in d(G)$ tak w zestawie $D_{1}$ Potrafię wziąć żywioł $B = \Omega \in d(G)$ ale nie potrafię wywnioskować, dlaczego zbiór C musi zawierać $\Omega$ (tak, że przecięcie $\Omega \cap \Omega = \Omega \in d(G)$), co ostatecznie pokaże pierwszą część $D_{1}$ jest w rzeczywistości systemem d.

Każda pomoc w powyższym byłaby bardzo mile widziana!

Answer 1

Te definicje są rzeczywiście mylące.
Zauważ, że z definicji$G\subseteq d(G)$ dlatego $d(G)$to najmniejszy system Dynkin zawierający $G.$ Zauważ więc, że jeśli $x\in G,$ następnie $x\in d(G).$ Więc, $\Omega \in d(G)$ z definicji i jeśli $C\in G$ następnie $C\cap \Omega =C\in d(G)$ więc $\Omega \in D_1.$