Obserwowalność pary macierzy
Pozwolić $A\in\mathbb{R}^{m \times m}$ i $C\in\mathbb{R}^{n\times m}$. Para$(A,C)$ jest widoczne, jeśli $Cx \ne 0$ dla każdego właściwego wektora własnego $x$ z $A$. Dlatego jeśli para$(A,C)$ NIE jest więc obserwowalne
\begin{align} \exists \lambda \in \mathbb{C}, x \in \mathbb{C}^m, x\ne 0 \: \text{ such that } Ax = \lambda x \text{ and } Cx = 0. \tag{1} \end{align}
W powyższym przypadku ($1$), czy istnieje koncepcja lub wynik, który bada wielokrotność wartości własnej $\lambda$przez które naruszana jest obserwowalność? Na przykład, jaka jest różnica między tym przypadkiem$\lambda$ w ($1$) jest prostą wartością własną i przypadkiem, w którym $\lambda$nie jest proste? Czy istnieje sposób, aby zidentyfikować wielość plików$\lambda$ na przykład poprzez macierz obserwowalności?
Dziękuję za uwagi i przemyślenia.
Odpowiedzi
Jedna odpowiedź na pytanie 1: pojęcie „wykrywalności” daje nam trochę wglądu w naturę wartości własnych $A$dla których (1) posiada. W szczególności mówi się, że system jest wykrywalny, jeśli wszystkie takie wartości własne spełniają$\operatorname{Re}(\lambda) < 0$ (lub $|\lambda|<1$ dla systemów dyskretnych).
Gdy system jest wykrywalny, okazuje się, że stan systemu można odzyskać od wyjścia do wykładniczo malejącego błędu. Kiedy wartość własna, dla której (1) zachodzi, znajduje się po przeciwnej stronie progu (tj$\operatorname{Re}(\lambda) > 1$ lub $|\lambda|>1$) okazuje się, że błąd w obserwacji rośnie wykładniczo. Prostota wartości własnej nie odegrała dotychczas roli, ale ma znaczenie dla przypadku krawędzi, w którym (1) zachodzi dla wartości własnej na „granicy”, tj. Takiej, dla której$\operatorname{Re}(\lambda) = 0$ (lub $|\lambda| = 1$ w przypadku dyskretnym) i (1) nie zachowuje się dla żadnych innych wartości własnych poza otwartą lewą półpłaszczyzną.
Jeśli graniczna wartość własna jest prosta, to błąd obserwacji będzie stały. Jeśli graniczna wartość własna nie jest prosta, to błąd obserwacji rośnie wielomianowo.
Odnośnie do pytania 2: tak, istnieje sposób na zidentyfikowanie wielości $\lambda$przy użyciu macierzy obserwowalności. W szczególności, jeśli$x$ jest w jądrze macierzy obserwowalności, to znaczy tak $$ \mathcal O(A,C) x = \pmatrix{C\\CA\\ \vdots \\ CA^{m-1}}x = 0, $$ potem będzie $CA^k x = 0$ dla wszystkich liczb całkowitych $k \geq 0$to znaczy tak $\ker(C)$ zawiera niezmienną podprzestrzeń wygenerowaną przez $x$.
Mając to na uwadze: niech $\{x_1,\dots,x_{k_1}\}$ być podstawą do $\ker \mathcal O(A,C)$. Rozszerz to na podstawę$\{x_1,\dots,x_{k_1}, y_1,\dots,y_{k_2}\}$ z $\ker C$. Rozszerz to na dalsze podstawy$\{x_1,\dots,x_{k_1},y_1,\dots,y_{k_2},z_1,\dots,z_{k_3}\}$ z $\Bbb R^m$. Pozwolić$S$ oznacz macierz, której kolumny są elementami tej bazy, tj $x_1,\dots,x_{k_1},y_1,\dots,y_{k_2},z_1,\dots,z_{k_3}$. Jeśli zastosujemy zmianę podstawy do przestrzeni stanów, aby otrzymać nowe macierze$\bar C = CS$ i $\bar A = S^{-1}AS$, wtedy okazuje się, że macierze $\bar C$ i $\bar A$ będzie mieć formę $$ \bar C = \pmatrix{0_{n \times k_1}& 0_{n \times k_2} & C_0}, \quad \bar A = \pmatrix{A_{11} & A_{12} & A_{13}\\0 & A_{22} & A_{23}\\ 0 & A_{32} & A_{33}}, $$ gdzie $C_0$ rozmiar jest odwracalny $k_3$ i $A_{11}$ ma rozmiar $k_1$.
Jeśli chodzi o te macierze, wartości własne, dla których (1) się trzyma, są dokładnie wartościami własnymi $A_{11}$.
Rozkład, który podam, można traktować jako alternatywną wersję rozkładu Kalmana . Jeśli chodzi o rozkład Kalmana, interesują nas wartości własne$A_{r \bar o}$ i prawdopodobnie niektóre z tych z $A_{\overline{ro}}$.