Operatory gęstości i dekompozycja widmowa
Ciekaw jestem dwóch pytań i oba mogą być niesamowicie głupie. Po prostu nie byłem w stanie przekonać siebie, że jest inaczej.
Wiemy, że operator gęstości $\rho_E$ ma formę $\rho_E = \sum_j \rho_j |x_i\rangle\langle x_i|$ gdzie $\text{Tr}(\rho_E) = \sum_j \rho_j = 1$. Od$\rho_E$ jest również normalne, musi mieć rozkład widmowy $\rho_E = \sum_i \lambda_i\Pi_i$ gdzie $\Pi_i$ są rzutami do przestrzeni własnej związanej z $\lambda_i$.
Czy jest tak, że te dwa rozkłady są takie same? Znaczenie$\lambda_i = \rho_i$ i $|x_i\rangle\langle x_i| = \Pi_i$?
Jeśli tak, czy istnieje dobre wyjaśnienie, dlaczego $|x_i\rangle\langle x_i|$jest właściwie projekcją w przestrzeń własną? Oznacza to, że załóżmy, że mamy jakąś liniową mapę$M: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ powiedzmy z wektorem własnym $v = (2,1)^T$. Wola$(2,1)^T \cdot (2,1) = |v\rangle\langle v|$ faktycznie jest projekcją na eigensapce, z którym jest związany $v$?
Odpowiedzi
Z notacją „ket-bra” $|u\rangle\!\langle v|$ mamy na myśli operator liniowy $x\mapsto |u\rangle\langle v|x\rangle$, gdzie $\langle v|x\rangle$ jest iloczynem wewnętrznym między wektorami $|x\rangle$ i $|v\rangle$. W bardziej standardowym zapisie matematycznym można to oznaczyć$uv^*$tutaj $v^*$ jest dualnością $v$.
Z tego powodu, $|v\rangle\!\langle v|$dla dowolnego wektora jednostkowego $|v\rangle$ (co zwykle ma miejsce, gdy używa się notacji ket), jest projektorem ślad-1, który w trywialny sposób rzutuje na jednowymiarową przestrzeń rozpiętą przez $|v\rangle$.