Orbity $SO(3)$

Question

Zastrzeżenie: to pytanie miało kilka zmian; ten traktuje sprawę$k=\mathbb{R}$, podczas gdy opublikuję kolejny dla złożonej sprawy.

Rozważ działanie $SO(3)$ na $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, z jednorodnymi współrzędnymi $x_0,x_1,x_2$, formularza $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Chciałbym zrozumieć, jakie są orbity tej akcji i zrozumieć, czy jest to akcja przechodnia $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ to znaczy od $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Chciałbym się uczyć $$SO(3)/SO(3)_p.$$ W związku z tym, dla uproszczenia, wziąłem pod uwagę punkt $p=(1:0:0)$, i znalazłem to $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $ZA$ is equal to $p$}\}.$$ Na zakończenie powinienem to wykazać, biorąc pod uwagę pewien punkt $y\in \mathbb{P}^2$istnieje macierz $B\in SO(3)$ takie że $Bp=y$, czyli pierwsza kolumna $B$ jest równe $y$. Niestety teraz utknąłem, bo nie wiem, jak stworzyć macierz z prostej kolumny$y$.

Answer 1

Potrzebujesz matrycy $B$ takie że $Bp$ jest proporcjonalne do $y$ (Myślę o $y$ jako wektor w $\Bbb R^3$). Więc pierwszym krokiem jest wymiana$y$ z $y/\|y\|$, więc jest to wektor jednostkowy. Wtedy potrzebujesz macierzy rotacji, której pierwsza kolumna to$y$. Pozostałe dwie kolumny muszą być prostopadłe do$y$i muszą być zorientowane pozytywnie. Oto konstrukcja:

Niech najmniejszy wpis $y$, w wartości bezwzględnej, będzie $i$th. Pozwolić$w = e_i$. Obliczać$$ v = w - w \cdot y $$ który jest ortogonalny do $y$ (dlaczego nie może to być zero? To dla ciebie ćwiczenie), a potem pozwól $$ u = v / \| v \| $$ który jest wektorem jednostkowym ortogonalnym do $y$. Wtedy pozwolić$B$ być macierzą z kolumnami $y, u, $ i $y \times u$.

Pamiętaj jednak, że działa to w każdym punkcie $y$, nie tylko te na twojej krzywej $C$, więc tak naprawdę nie rozumiem, jak rozwiązuje to twój problem. Prawdopodobnie coś źle zrozumiałem.