Pochodna Bessela $K$

Question

Interesuje mnie pierwsza pochodna Bessela $K$funkcji w odniesieniu do jej parametru. Użyję następującej notacji;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Spojrzałem na kilka różnych wyrażeń dla $K^{(1,0)}$, na przykład tutaj: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Wydaje mi się, że te wyrażenia są dość gwałtowne; obejmujące nieskończone sumy w szeregu funkcji gamma i funkcji digamma itp. Nie mam dużego doświadczenia w manipulowaniu tego rodzaju szeregami.

Jednak te wyrażenia są albo ogólnymi $n\in \mathbb{Z}$ lub $n \notin \mathbb{Z}$, a obecnie interesuje mnie tylko $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. wiem to$K_{\frac{1}{2}}(z)$ upraszcza znacznie w porównaniu z generałem $K_\nu(z)$, więc czuję, że może być jakaś nadzieja $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ może również uprościć w porównaniu do $K^{(1,0)}(n,z)$.

Czy ktoś wie, czy można podać uproszczone wyrażenie na pochodną $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ Bessel $K$ funkcjonować?

Answer 1

Ta pochodna jest jawnie ujęta w tabeli ( DLMF ) \ begin {equation} \ left. \ Frac {\ częściowe K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ części \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {equation} gdzie \ begin {equation} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {equation} to całka wykładnicza.