Problem z twierdzeniem Rolle'a

Question

Jest więc to pytanie, które prosi nas o udowodnienie tego, między dowolnymi dwoma korzeniami $\tan x=1$ istnieje co najmniej jeden katalog główny $\tan x =-1$. Załóżmy, że to założymy$a,b$ są dwoma korzeniami $\tan x-1=0$, następnie $f(a)=f(b)=0$, gdzie $f(x)= \tan x-1$. Zgodnie z twierdzeniem$f'(c)=0$ gdzie $c \in (a,b)$,to znaczy, $\sec^2 c =0$.... i to nie jest zdefiniowane. Albo coś jest nie tak z moim zrozumieniem, albo z problemem. Proszę pomóż.

Answer 1

Funkcja $f(x)=\tan(x)-1$ nie jest ciągła dla każdego $x\in[a,b]$, ($a,b$ będąc kolejnymi korzeniami $f$), więc twierdzenie Rolle'a nie może być stosowane w takim przedziale.

Answer 2

Pozwolić $f(x)=\tan x -1$, i $g(x)=\tan x +1$.

Korzenie $f(x)$ występują w interwale $I=[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ dla niektórych $k\in\mathbb{Z}$. Korzenie$f(x)$ występują w punktach końcowych interwału $I$.

Korzenie $g(x)$ występują w interwale $J=[-\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ dla niektórych $k\in\mathbb{Z}$. Korzenie$g(x)$ występują w punktach końcowych interwału $J$.

Przerwa $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ jest zawarty w $[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ i korzeń $g(x)$ występuje o godz $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$. Korzenie$f(x)$ występują o godz $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ i $x=\frac{5\pi}{4}+\pi k$.

$\frac{\pi}{4}+\pi k<\frac{3\pi}{4}+\pi k<\frac{5\pi}{4}+\pi k $.

Więc istnieje co najmniej jeden katalog główny $g(x)$ między dowolnymi dwoma korzeniami $f(x)$.