Widmo ograniczonego operatora liniowego

Question

Pracuję nad następującym problemem.

Pozwolić $(e_n)$ być pełną sekwencją ortonormalną w przestrzeni Hilberta $H$, i pozwól $(\lambda_n)$być ograniczoną sekwencją złożoną. Pozwolić$T$ być ograniczonym operatorem liniowym na $H$ takie że $Te_n=\lambda_ne_n$ dla każdego $n$. Odnaleźć$\sigma(T)$, widmo $T$.

Co zrobiłem do tej pory : wiem, że jeśli$\lambda\in\sigma(T)$ następnie $T-\lambda I$ nie jest odwracalna.

Myślę, że $\{\lambda_n\}_n\subset\sigma(T)$, dlatego $(T-\lambda_nI)e_n=Te_n-\lambda e_n=0$, co znaczy $e_n\in\ker(T-\lambda_n I)$, więc $T-\lambda_n I$ nie jest iniekcyjny (co oznacza, że ​​nie jest odwracalny).

Ale nie wiem, czy są inni członkowie $\sigma(T)$. Każda pomoc będzie mile widziana!

Answer 1

Od $\sigma (T)$ jest zamknięty, widzimy, że zamknięcie $\{\lambda_n : n \geq 1\}$jest w nim zawarta. Gdyby$\lambda $ nie należy do tego zamknięcia, istnieje dodatni dystans $r$ od $\lambda$do tego zestawu. A zatem$|\lambda-\lambda_n| \geq r$ dla wszystkich $n$. Pozwolę ci sprawdzić tat$T-\lambda I$ ma ograniczony odwrotność w tym przypadku tak $\lambda$nie może znajdować się w widmie. [Zauważ, że istnieje wzór obviosu na odwrotność$T-\lambda I$]