Wzór na obszar rombu

Question

Czy możesz udowodnić następujące roszczenie? Twierdzenie jest inspirowane przezhttps://en.wikipedia.org/wiki/Harcourt%27s_theorem#:%7E:text=Harcourt%27s%20theorem%20is%20a%20formula,Harcourt%2C%20an%20Irish%20professor..

W dowolnym rombie $ABCD$ skonstruuj dowolną styczną do wewnątrz kręgu rombu. Pozwolić$n_1,n_2,n_3,n_4$ być oznaczoną odległością od wierzchołków $A,B,C,D$odpowiednio do linii stycznej, tak że odległości do stycznej od punktów po przeciwnych stronach są przeciwne w znaku, podczas gdy odległości od punktów po tej samej stronie mają ten sam znak. Oznacz długość boku rombu przez$a$ i obszar rombu wg $A$ , następnie $a(n_1+n_2+n_3+n_4)=2A$

Aplet GeoGebra, który demonstruje to twierdzenie, można znaleźć https://www.geogebra.org/m/v5ja7cej. Próbowałem dostosować podany dowód twierdzenia Harcourtahttp://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200313.pdf ale bez powodzenia.

Answer 1

Pozwolić $r$być promieniem rombu. Najwyraźniej od tego czasu$A$ i $C$ są symetryczne $I$, jak są $B$ i $D$, mamy$$(n_1-r)+(n_3-r)=0,$$ $$(n_2-r)+(n_4-r)=0.$$ Dlatego wystarczy udowodnić $$2ar=A.$$ Jest to jednak bezpośrednia konsekwencja faktu, że pole każdego wielokąta jest równe jego półmetrowi pomnożonemu przez jego promień (o ile ten ostatni istnieje). $\blacksquare$