Znajdź granicę za pomocą wzoru Stirlinga.

Question

Problem:

Pozwolić $a_{n} = 1 \cdot 3 \cdot 5\cdot . . . \cdot 2n-1 = \prod^{n}_{k=1} \left(2k-1\right)$.

Następnie użyj wzoru Stirlinga, aby znaleźć $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{\left(\frac{n}{e}\right)^{n} 4^{n} \sqrt{2}}$.

Moja dotychczasowa praca:

wiem to $\prod^{n}_{k=1} \left(2k-1\right)$ można wyrazić jako $\frac{\left(2n\right)!}{2^{n}n!}$ i wiem, że formuła Stirlinga to $n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}$.

Teraz tutaj utknąłem.

mam $\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\left(2n\right)!}{2^{n}n!}}{\left(\frac{n}{e}\right)^{n} 4^{n} \sqrt{2}}$.

Czy powinienem wymienić każdy $n!$ z $\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}$, a następnie spróbuj znaleźć limit, czy też istnieje skuteczniejszy sposób rozwiązania tego problemu?

Answer 1

$$(2n)! \approx \left(\frac{2n}{\mathrm{e}}\right)^{2n}\sqrt{2\pi (2n)}$$ $$ 2^n n! \approx 2^n \left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n \sqrt{2 \pi n}$$ Więc $$ \frac{a_n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}} \right)^n 4^n \sqrt{2}} = \frac{\frac{(2n)!}{2^n n!}}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}} \right)^n 4^n \sqrt{2}} \approx \frac{ \left( \frac{\left(\frac{2n}{\mathrm{e}}\right)^{2n} \sqrt{2\pi (2n)}}{2^n \left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n \sqrt{2 \pi n}}\right) }{\left(\frac{n}{\mathrm{e}} \right)^n 2^{2n} \sqrt{2}}. $$ Uprość i odkryj, że tylko jedno użycie $n$ pozostaje.

Answer 2

Tak, powinieneś po prostu podłączyć wzór dla każdej silni. Upewnij się, że masz formułę$(2n)!$dobrze. Następnie jest kilka wierszy algebry. Wszystkie$n$powinny zniknąć.