Fractais e suas dimensões

Fractais são formas malucas que mostram ordem e padrões em designs caóticos. Tem muitas curvas fascinantes. Esses padrões interessantes foram estudados individualmente devido às suas propriedades únicas. Um deles é o triângulo de Sierpinski .

O triângulo de Sierpinski é basicamente um triângulo equilátero que é dividido em quatro triângulos equiláteros (como mostrado na imagem abaixo) e o triângulo central é removido. Em seguida, esses subtriângulos são novamente divididos de forma semelhante em quatro triângulos equiláteros e o triângulo central é removido. Esse processo é iterado infinitamente e, no processo, o triângulo complexo recebido é o triângulo de Sierpinski. Agora, se em um triângulo de Pascal, todos os números ímpares são coloridos em preto e os números pares são coloridos em branco, então o que você finalmente recebe é o triângulo de Sierpinski. Inesperado, certo?

Os fractais não eram apenas formas ou padrões aleatórios criados matematicamente. Também foi visto no gráfico da população. Observou-se que a alimentação aumentava linearmente, mas a população crescia exponencialmente. Mais tarde, descobriu-se que a população não continuou aumentando dessa maneira. Ele aumentou por alguns anos, depois, devido à deficiência de alimentos e recursos, voltou a cair. Essas mudanças populacionais seguiram uma função simples,

[Deixe a equação acima ser rotulada (1).]

Onde, X é a população do ano atual e X_next é a população do ano após X e r é uma constante que pode ser ajustada de acordo com a população sendo modelada. Para observar o comportamento de longo prazo dos sistemas, essa fórmula foi repetida várias vezes e para ver o que acontecia. Esse processo é chamado de iteração.

A equação (1) é plotada tomando 'r' como 3,5 e assumindo com uma situação hipotética que o valor de X está apenas entre 0 e 1, e iterado infinitamente. O seguinte foi o gráfico obtido:

Este gráfico foi considerado como um fractal, pois mostrava a propriedade de auto-semelhança nele. Ao ampliar a 'janela de ordem' do gráfico, que é a grande lacuna no gráfico, você notará o mesmo gráfico original novamente presente nessa janela. Quanto mais você aumenta o zoom, encontra o mesmo gráfico repetidas vezes na janela do caos. Este Fractal foi referido como 'A figueira'.

Como mencionei em um de meus artigos anteriores, os fractais são formas ásperas e irregulares. Esta rugosidade e irregularidade podem ser facilmente calculadas. Quão? Calculando sua dimensão Fractal. Felix Hausdorff e Abram Besicovitch descobriram que os fractais tinham dimensões não inteiras. Eles descreveram que os fractais são curvas que têm dimensão 'entre' as dimensões inteiras. Essas dimensões fractais são, portanto, também chamadas de dimensão Hausdorff-Besicovitch. Mas como calcular essas dimensões? Existem dois métodos principais que podem ser usados ​​para calcular facilmente a dimensão.

Um, usando a propriedade de auto-semelhança que os fractais possuem. Vamos pegar formas com dimensões conhecidas 1,2 e 3. Para a dimensão um, vamos pegar uma linha de 1 unidade de comprimento e reduzi-la para 1/4 de seu comprimento original. Então, seu comprimento agora é 1/4 unidades. Para obter o comprimento original, temos que multiplicar esse 1/4 da linha quatro vezes. Seja o fator, a linha é reduzida por, seja 's', o número ao qual 's' é multiplicado para obter o comprimento original seja 'n' e a dimensão seja 'D'. Assim, você observaria que, neste caso,

Esta fórmula é válida para qualquer dimensão. Suponha que tentamos provar isso usando a área de uma forma bidimensional. Então, vamos reduzir cada lado de um quadrado com comprimento unitário para 1/2 de seu comprimento original, de modo que sua área seja reduzida em. 1/4. Assim, para recuperar o quadrado original, precisamos multiplicar o quadrado reduzido 4 vezes.

Assim, D = 2, que era a dimensão necessária.
Da mesma forma, pode ser provado para uma forma tridimensional.

Assim, a equação geral encontrada é,

A equação (2) é uma das fórmulas que podem ser usadas para encontrar a dimensão fractal de uma forma. Agora, suponha que tomamos uma curva de Koch,

Com os valores de n e s dados acima, se tentarmos calcular sua dimensão fractal com a equação (2), obteremos aproximadamente 1,26 . Esta é a dimensão do fractal, curva de Koch.

Dois, usando um método de contagem de grade.
Neste método, você precisa apenas desenhar grades na imagem fractal, cada caixa com uma escala de 1 unidade. Em seguida, desenhe uma grade novamente, mas cada caixa com uma escala de 1/2 desta vez. Novamente, com cada caixa tendo uma escala de 1/4. Conte o número de caixas pelas quais o fractal está passando. Você pode calcular a dimensão usando a seguinte fórmula,

onde n( ) é o número de quadrados que contém a imagem e 1/s é a escala da grade. Agora podemos calcular a dimensão da curva de Koch. Abaixo estão três grades de escala na proporção 1 : 1/2 : 1/4. Por contagem, o número de caixas da primeira, segunda e terceira grade foi encontrado em 18, 41 e 105, respectivamente.

Calculando a dimensão usando a grade de escala 1 e 1/2,

Calculando a dimensão usando a grade de escala 1 e 1/4,

Calculando a dimensão usando a grade de escala 1/2 e 1/4,

Ao encontrar a média desses três valores, encontrou-se aproximadamente 1,27. Isso é próximo a 1,26, que é a dimensão original da curva de Koch.

Portanto, essas são duas maneiras simples de calcular a dimensão fractal de uma imagem fractal.