Índice _

1. Resumo
2. Compreendendo o produto escalar | Projeções escalares
3. Vetores unitários
4. Projeções vetoriais
5. Exercício
6. Conclusão
7. Leitura adicional
8. Vamos nos conectar

Abstrato

Compreender o produto escalar e a essência das projeções vetoriais é um assunto essencial em vários campos. Seus aplicativos abrangem aprendizado de máquina, processamento de sinal, processamento de imagem, física, negócios e muito mais. Neste artigo, tentaremos explicar de maneira simples as projeções de produto escalar e vetoriais por meio de explicações claras e exemplos informativos.

Casos de uso

O produto escalar desempenha um papel significativo em Física, Robótica, Computação Gráfica, Aprendizado de Máquina, Processamento de Sinais, Geografia, Economia e muito mais.

Ciência da computação
Você pode pensar no produto escalar como uma medida de similaridade. Por exemplo, em sistemas de recomendação , podemos utilizar o produto escalar para medir a similaridade entre dois vetores que representam as preferências de filmes dos usuários. Da mesma forma, na classificação de texto , o produto escalar ajuda a avaliar a semelhança entre dois documentos. Além disso, no reconhecimento de imagem , o produto escalar pode ser usado no reconhecimento de imagem, em conjunto com a medição da distância euclidiana entre os vetores, para medir a semelhança entre duas imagens.

Negócios
No mundo dos negócios, o produto escalar pode ser empregado para calcular a soma ponderada de diversos fatores, permitindo uma melhor tomada de decisão em áreas como investimento e alocação de recursos. Um exemplo concreto pode ser a otimização de portfólio , onde esse conceito pode ser usado para determinar o retorno ponderado de diferentes ativos em um portfólio. Com base em seus objetivos de investimento e tolerância ao risco, os investidores podem comparar esses retornos ponderados para determinar a melhor forma de alocar seus ativos para minimizar o risco e maximizar os lucros.

Compreendendo o produto escalar | Projeções escalares

Entender o produto escalar é um pré-requisito para entender as projeções vetoriais, pois é o principal componente usado em seu cálculo.

Para entendê-lo, pode fazer muito mais sentido pensar nisso de uma maneira física do que matemática algébrica.

Na física, o produto escalar (também conhecido como produto escalar) pode ser usado para calcular o trabalho realizado por uma força sobre um objeto. Vamos esquecer o produto escalar por um momento e considerar um cenário básico.

Suponha que temos um objeto em movimento O, sendo puxado por um vetor de força F em paralelo ao vetor de deslocamento (d) /ao longo da direção do objeto em movimento/

Como os vetores de força F e d estão apontando na mesma direção, podemos usar a Fórmula de Trabalho, W=Fd para calcular a quantidade total de trabalho. Se a magnitude de F=3e magnitude de d=6então o trabalho seria W=Fd=6*3=18.

Tudo bem, mas agora vamos considerar outro cenário em que o ângulo entre o vetor de força de tração F e o vetor de deslocamento d é de 60 graus, o que significa que o vetor F não está trabalhando 100% a favor da direção do vetor d.

Aqui não podemos usar a W=Fdfórmula porque esta fórmula assume que a força e o deslocamento estão se movendo em paralelo. Nesses casos, precisamos encontrar a projeção de F em d (a magnitude do vetor que está trabalhando na mesma direção que nosso vetor de deslocamento).

Para fazer isso, podemos soltar uma linha imaginária de F em D, formando um triângulo retângulo e usar um pouco de trigonometria básica. Usando a fórmula do cosseno, podemos encontrar a magnitude de projFd:

cos(θ) = Adjacente/Hipotenusa
cos(θ) = ProjFd/F (Multiplique ambos os lados por F)
ProjFd = cos(θ)*F

Generalizado, comp_B(A)=|A|*cos(0). `

Agora, como temos as magnitudes(tamanhos) dos dois vetores (ProjFd e d), apontando na mesma direção, podemos usar a fórmula do trabalho novamente e descobrir que:

W = F d ou
W = |F|*cos(θ)* d ou
W = |3|*cos(60deg)* 6 = 6*3*1/2=9

Podemos examinar que, em comparação com o exemplo anterior, o trabalho total foi reduzido de 18 para 9.

E sem perceber, criamos a fórmula do produto escalar (também conhecido como produto escalar):

AB = |A|.|B|.cos(θ): o produto escalar de dois vetores é igual ao produto das magnitudes dos vetores, multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Agora, também é importante observar que nos concentramos na interpretação geométrica para explicar o produto escalar, no entanto, o produto escalar também pode ser calculado usando a representação algébrica ou por componentes, que é especialmente útil para cálculos (como os mencionado em casos de uso de Ciência da Computação em Resumo):

A · B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3: o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos de seus componentes correspondentes.

Ambas as representações são formas equivalentes de calcular o produto escalar e produzirão o mesmo resultado. A interpretação geométrica é útil para entender o significado físico e as propriedades do produto escalar, enquanto a representação algébrica simplifica os cálculos e permite uma manipulação mais fácil em expressões matemáticas e CS. As duas fórmulas estão inerentemente conectadas. A fórmula componente para o produto escalar pode ser derivada da fórmula geométrica usando as propriedades de projeções vetoriais e trigonometria.

Agora podemos simplesmente entender as propriedades do produto escalar:

(Para uma explicação detalhada ou derivação dessas propriedades, consulte a seção Dot Product do curso de Álgebra Linear da Khan Academy, ou melhor ainda, tente prová-las por si mesmo com o conhecimento aprendido até este ponto)

1. Para Vetores Ortogonais (quando θ é 90 graus) o produto escalar sempre é igual a 0, pois cos(θ) = 0. Os vetores estão apontando em direções diferentes (não trabalhando um a favor do outro).

2. Para vetores paralelos (Exemplo 1), o produto escalar é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores (AB=AB), pois cos(0)=1.

3. O produto escalar é distributivo sobre a adição de vetores:A.(B+C)=A.B+A.C

4. O produto escalar é compatível com a multiplicação escalar :(kA).B=k(A.B)=A.(kB)

5. O produto escalar é comutativo (a ordem não importa), o que significa queA.B=B.A

6. O produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado de sua magnitude :A.A=|A|^2

7. O produto escalar pode ser usado para calcular o cosseno do ângulo entre dois vetores : cos(0)=(A.B)/|A|.|B|(Cosseno Semelhança). Isso é útil para medir a semelhança ou diferença de direção entre dois vetores, independentemente de suas magnitudes.

Essas propriedades são essenciais para várias aplicações em matemática, física e engenharia.

Vetores Unitários

Antes de pular para as projeções vetoriais, é bom lembrar o que é um vetor unitário . Um vetor unitário é um vetor que tem uma magnitude (comprimento) de 1 enquanto retém a direção original do vetor. Isso é particularmente útil porque nos permite resolver coisas sobre vetores sem sermos influenciados por seus comprimentos. Os vetores unitários são geralmente denotados por um chapéu (^), portanto, se tivermos um vetor u, seu vetor unitário correspondente seria û.

Suponha que estamos no espaço 2D e temos um vetor com componentes (i1,j1). Para encontrar seu vetor unitário, precisaríamos dividir os componentes do vetor por sua magnitude:

Antes de multiplicar qualquer coisa, no entanto, precisamos encontrar a magnitude do vetor . Para fazer isso, podemos usar a fórmula para encontrar magnitude no espaço 2D, que é:

||a|| = quadrado(a1²+a2²)

Suponha que nosso vetor seja a, em nosso exemplo particular, a magnitude seria:

||a|| = quadrado(i1²+j1²)

Se assumirmos que i1 = 3 e j1 = 4, isso seria:

||a|| = quadrado(3²+4²) = quadrado(25) = 5

Agora podemos derivar o vetor unitário dividindo os componentes do vetor por sua magnitude:

â = (i1/||a||, j1/||a||)
â = (3/5, 4/5)

Podemos simplesmente provar que sua magnitude é 1 encontrando-a:

||a|| = quadrado((3/5)²+(4/5)²) = quadrado(9/25+16/25) = 1

Projeções vetoriais

Os vetores têm dois componentes : magnitude e direção . Quando exploramos as Projeções Escalares, descobrimos como encontrar a magnitude do vetor projetado, para o Vetor A sobre B, isso foi projAb=|a|*cos(0). Por outro lado, porém, isso não nos dá nada além de um número.

Para encontrar o vetor real, precisamos encontrar os componentes do vetor projetado projAb. Como já sabemos que os vetores apontam na mesma direção, podemos simplesmente descobrir o vetor unitário de B e multiplicá-lo pelas componentes do ProjAb para obter as componentes do vetor projetado.

Reescreva a fórmula de projeção usando o produto escalar

Antes de começarmos a calcular as projeções vetoriais, podemos encontrar rapidamente algo na Fórmula Dot (explicaremos em breve o porquê). Se pegarmos a fórmula do ponto e dividirmos ambos os lados por |B| obtemos o seguinte:

> AB = |A|.|B|.cos(θ) (Antes)

> AB / |B| = |A|cos(θ) (Depois)

Se olharmos novamente para a nossa fórmula de projeção escalar anterior, podemos descobrir que projAb=|A|cos(0)também é igual à equação do lado esquerdo acima, o que significa que a projeção também pode ser encontrada encontrando A.B/|B|. Isso é particularmente útil porque, com mais frequência, recebemos os componentes dos vetores e não o ângulo entre eles. Conhecendo as componentes dos vetores podemos utilizar o cálculo algébrico da fórmula do ponto.

Cálculo de Projeção Vetorial

Agora que sabemos tudo sobre tudo, podemos calcular a projeção vetorial de A sobre B. Suponha que estamos no espaço 2D e temos 2 vetores com coordenadas A(i1,j1) e B(i2,j2).

Para encontrar a projeção vetorial podemos:

1. Encontre o produto escalar dos dois vetores:

2. Calcule a magnitude do vetor B:

|B| = quadrado(i2²+j2²)

3. Encontre o vetor unitário B̂:

B̂ = i2/|B|, j2/|B|

4. Calcule a projeção escalar de A para B:

projAb = AB / |B|

5. Multiplique a projeção escalar pelo vetor unitário para encontrar a projeção vetorial de A sobre B:

vetorProj = (AB/|B|)*i2, (AB/|B|*j2)

Exercício.

Suponha que (i1,j1) = (3,4) e (i2,j2)=(6,3). Encontre a projeção vetorial

…

Você acabou em algum lugar entre (4,2)?

Conclusão

Em resumo, este artigo lançou luz sobre o produto escalar e as projeções vetoriais, destacando suas amplas aplicações em diversos campos. Discutimos seus papéis na ciência da computação e nos negócios, bem como exploramos o produto escalar, vetores unitários e projeções vetoriais. Fique atento ao nosso próximo artigo , onde vamos nos aprofundar na similaridade do cosseno e demonstrar como podemos usar o produto escalar para determinar a similaridade entre duas imagens com código.

Leitura Adicional

Aqui está uma lista com curadoria de recursos que ajudaram a escrever este artigo e que podem ajudá-lo a se aprofundar no assunto.

• https://www.youtube.com/watch?v=cZuDWviSI4c( Math21a. Equações de projeção vetorial )
• https://www.youtube.com/watch?v=rkqCiu6pQCY( Math Easy Solutions, The Dot Product in Physics: Calculating the Work Done to Move an Object )
• https://s3.amazonaws.com/scschoolfiles/1062/work_power_energy_notes.pdf( Rene' McCormick, Trabalho e Energia NMSI )
• https://www.youtube.com/watch?v=aK12VQ_8CZI( MathTheBeautiful , revisão do produto escalar)
• https://github.com/solomonxie/blog-in-the-issues/issues/48( Solomonxie, Noções básicas de álgebra linear )
• https://studylib.net/doc/8858885/7.5-scalar-and-vector-projections( Studylib, Projeções Escalares e Vetoriais )

As conexões são cruciais, pois promovem a colaboração e o compartilhamento de conhecimento e abrem novas oportunidades. Fico feliz em conversar ou ajudar quem se conecta comigo :). Clique aqui para acessar meu LinkedIn.