Nomeado em homenagem ao matemático britânico George Green, o Teorema de Green é um teorema por excelência em cálculo, o ramo da matemática que lida com o estudo rigoroso de mudanças e funções contínuas. Este artigo explora o cálculo sobre o espaço euclidiano tridimensional R³ e visa preencher a lacuna entre a matemática escolar e a universitária.

O primeiro teorema no estudo do Cálculo Vetorial reduz uma integral de área a uma integral de linha. Ele relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C a uma integral dupla sobre a região plana D limitada por C.

A Intuição

Para entender isso em termos simples, pense em um fluxo de fluido em um plano bidimensional. Imagine que o fluido está fluindo dentro de uma região e seu fluxo é descrito por um campo vetorial. A curva que delimita essa região pode ser considerada uma barreira, e estamos interessados ​​na circulação líquida do fluido ao redor dessa barreira.

A intuição aqui é que a circulação líquida em torno de uma curva fechada é determinada pelo “comportamento rotacional” (enrolamento) do campo vetorial dentro da região que ele abrange. Se o curl for positivo, significa que o campo está girando na mesma direção da orientação da curva (sentido anti-horário), o que contribui para a circulação. Se a curva for negativa, ela se opõe à orientação da curva, diminuindo a circulação.

Área de uma Elipse

Uma aplicação do Teorema de Green está nas áreas de computação. A seguir está a área da região D

Nosso objetivo é escolher funções arbitrárias P e Q de modo que obtenhamos o seguinte satisfeito.

Há um punhado de possibilidades úteis.

Como podemos ver, todas essas diferentes expressões fornecem a mesma área.

Para calcular a área com o Teorema de Green, escolheremos a primeira possibilidade.

C denota a curva da equação da elipse. Vamos parametrizar da seguinte forma.

A curva varia de 0 a 2pi, a integral agora é

Podemos então substituir x = acost(t) bem como a derivada de y em relação a t.

Como exercício, tente calcular a integral e a resposta deve sair como

Obrigado por ler. Não se esqueça de aplaudir o artigo se achar que é perspicaz.