Теорема Байеса помогает определить вероятности

Томас Байес был математиком , пресвитерианским священником и защитником сэра Исаака Ньютона . Сегодня статистики всего мира прославляют его из-за документа, опубликованного через два года после его смерти.

Байес умер 7 апреля 1761 года. Как было указано в завещании англичанина, его неопубликованные записи были переданы другу и коллеге по имени Ричард Прайс . Среди них было частичное эссе на тему, которая всегда волнует нас: вероятность.

Впечатленный и заинтригованный, Прайс опубликовал отредактированную версию в 1763 году под названием «Эссе о решении проблемы в доктрине шансов».

Здесь были заложены основы того, что мы теперь называем теоремой Байеса (или «правилом Байеса»), одного из самых заезженных инструментов современной статистики .

Шансы и концы

«Правило Байеса сегодня используется бесчисленным множеством способов. Оно дает вам инструмент для ясного осмысления неопределенности (в чем, как показали десятилетия исследований в области когнитивной науки, мы не особенно хороши)», — говорит Крис Уиггинс, доцент Колумбийского университета. прикладная математика, в интервью по электронной почте.

Фактическое уравнение показано выше. Короче говоря, цель этой формулы состоит в том, чтобы определить, какова вероятность того, что «А» задано, что «Б» уже произошло или наблюдалось.

Для этого мы должны предпринять следующие шаги:

Условная вероятность лежит в основе теоремы Байеса. Мир — сложное место. Когда мы пытаемся определить вероятность того, что произойдет то или иное событие, иногда нам приходится пересматривать наши расчеты из-за новой информации, новых событий и ранее существовавших данных.

Введите теорему. Независимо от того, являетесь ли вы астрофизиком, изучающим возраст Вселенной , или биологом, занимающимся изучением дикой природы и оценивающим популяцию редко встречающихся видов, теорема Байеса может помочь вам обновить свой взгляд и мировоззрение в соответствии с этими условными линиями.

Теперь, когда мы знаем некоторые основы, давайте рассмотрим формулу мистера Байеса.

Правда или ложь?

Медицинские работники знают, что следует остерегаться ложных срабатываний .

Если тест говорит вам, что что-то присутствует, хотя на самом деле этого нет, это ложноположительный результат, амиго. Мальчик-пастух крикнул «волк», но на самом деле он его не видел.

Истинные положительные результаты — это результаты тестов, которые соответствуют действительности. Это то, что вы получаете, когда тест выявляет состояние, которое действительно существует. Итак, в этом сценарии волк настоящий, а мальчик-пастушок говорил правду.

«Теорема Байеса может дать представление о производительности диагностических тестов», — объясняет Лэнс Уоллер, биостатистик из Университета Эмори, в недавнем обмене электронной почтой.

«Когда мы идем в клинику и сдаем анализ, мы хотим знать вероятность того, что я болен , если тест положительный » .

"Пейджинговый доктор Байес!"

Чтобы объяснить, как Томас Байес вписывается в разговор о ложноположительных результатах медицинских тестов, у Уоллера есть полезная гипотеза. Взгляните еще раз на нашу печатную формулу. Видите «А» и «Б»? Теперь пришло время заменить эти буквы чем-то менее абстрактным.

«Предположим, мы применяем тест, который имеет шанс 1 из 100 дать ложноположительный результат здоровому человеку, и тот же тест имеет шанс 99 из 100 дать истинно положительный результат больному человеку», — говорит Уоллер.

«Если мы применим этот тест к 100 здоровым людям и 100 больным, мы ожидаем 1 ложноположительный и 99 истинно положительных результатов. Если мы проведем тот же тест 100 000 здоровых и 100 больных людей, мы ожидаем 1000 ложноположительных результатов и 99 истинных положительных результатов. положительные результаты. Большинство наших положительных результатов тестов были бы ложными».

«Теорема Байеса, — говорит нам Уоллер, — определяет, как доли больных и здоровых людей изменяют вероятность положительного результата теста , данного здоровому человеку , на вероятность того , что здоровый человек даст положительный результат теста ».

За пределами лаборатории

Теорема породила байесовскую статистику , более широкий подход к математике и вероятности.

Эта школа мысли на протяжении многих лет подвергалась критике . Тем не менее, история показала, что есть место для байесовской мысли. Как указывает Уиггинс, математики теперь используют другие вычислительные инструменты и ищут другие виды данных, чем это делали предыдущие поколения.

«Иногда мы используем данные, чтобы с научной точки зрения описать мир таким, какой он есть; в других случаях, чтобы предсказать конкретный результат, а иногда, чтобы прописать лечение, которое оптимизирует результат», — говорит Виггинс. «Поэтому неудивительно, что нормы того, что составляет хорошую модель или хорошую практику моделирования, также продвинулись вперед».

В нашей компьютерной культуре байесовские методы окружают нас повсюду. Рассмотрим электронную почту. Некоторые фильтры электронной почты используют теорему Байеса для расчета вероятности того, что отдельное сообщение является нежелательным спамом , с учетом выбора слов.

Или посмотрите, как Береговая охрана США произвела фурор в 2014 году, когда одна из ее компьютерных программ привела к спасению пропавшего без вести рыбака. Как вы уже догадались, эта программа справилась с теоремой Байеса.

«Выполнение «байесовского анализа» не всегда означает лучший анализ, — отмечает Уоллер. «[Но] поскольку байесовские методы требуют подробных математических определений, байесовский анализ часто обеспечивает гибкость для адаптации к более широкому кругу приложений, чем традиционные подходы».

может получить небольшую комиссию от партнерских ссылок в этой статье.

Теперь это интересно

Как и Томас Байес, Ричард Прайс был практикующим священником, к тому же обладавшим хорошими связями . Он лично встречался с такими людьми, как Бенджамин Франклин, Томас Джефферсон, Джон Адамс и Томас Пейн. Кроме того, Мэри Уолстонкрафт — революционная феминистка и мать создательницы « Франкенштейна » Мэри Уолстонкрафт Шелли — была одной из его подопечных.