eigenvectors ของเมทริกซ์สมมาตรจริงตั้งฉากกันทั้งหมดหรือไม่?
ตามที่ฉันเรียนในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์สมมาตรจริง $A$ มักจะมี eigenvectors มุมฉากเสมอ $A$ เป็นแนวทแยงมุมในแนวทแยงมุม แต่ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรจริงตั้งฉากกันทั้งหมดหรือไม่?
ในความเป็นจริง, $A$ เป็นเส้นทแยงมุมเพื่อให้เราสามารถหากลับด้านได้ $P$ และ $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ $P$ ตั้งฉากกันฉันหาได้แค่นั้น $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ ดังนั้น $P^{T}PS=SP^{T}P.$สิ่งนี้ไม่สามารถแสดงให้เห็นได้ $P^{T}P=I_{n}.$
มันเป็นอย่างนี้ $P$มุมฉาก? ถ้าไม่ความสัมพันธ์ของมันกับ eigenvectors เชิงฉากคืออะไร?
โดยวิธีการที่ฉันพบปัญหานี้เมื่อฉันอ่านบันทึกการบรรยายhttp://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
ฉันคิดว่าวิธีการพิสูจน์เมทริกซ์สมมาตรใด ๆ ที่มีลักษณะเฉพาะที่ตั้งฉากกันนั้นผิด
ความช่วยเหลือใด ๆ จะขอบคุณ
คำตอบ
ทฤษฎีบทในลิงค์นั้นบอกว่า $A$"มีลักษณะเฉพาะที่ตั้งฉาก" จำเป็นต้องระบุอย่างละเอียดมากขึ้น (ไม่มีสิ่งที่เรียกว่าเวกเตอร์เชิงมุมดังนั้นการบอกว่า eigenvectors มีลักษณะตั้งฉากกันจึงไม่สมเหตุสมผลชุดของเวกเตอร์เป็นแบบตั้งฉากหรือไม่และชุดของ eigenvector ทั้งหมดไม่ได้ตั้งฉากกัน)
เห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จที่จะบอกว่า eigenvectors สองตัวตั้งฉากกันเพราะถ้า $x$ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแล้วก็เป็นเช่นนั้น $2x$. สิ่งที่เป็นความจริงก็คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันนั้นมีมุมฉาก และนี่เป็นเรื่องเล็กน้อย: สมมติว่า$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. แล้ว$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$ดังนั้น $x\cdot y=0$.
pdf นั้นผิดหรือเปล่า? มีปัญหาร้ายแรงเกี่ยวกับคำชี้แจงของทฤษฎีบท แต่สมมติว่าสิ่งที่เขาหมายถึงคือสิ่งที่ฉันพูดข้างต้นการพิสูจน์ก็น่าจะถูกต้องเพราะมันง่ายมาก
แน่นอนคุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ที่เป็นเส้นทแยงมุม $A$ เป็นมุมฉากเพราะเป็นเท็จ
ตัวอย่างเช่นใช้ $A=I$(เมทริกซ์เอกลักษณ์) เมทริกซ์กลับด้านใด ๆ$P$ เส้นทแยงมุม $I$, แต่แน่นอน $P$ ไม่จำเป็นต้องเป็นมุมฉาก
ถ้า $A$ มี $n$ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน (โดยที่ $A$ คือ $n\times n$) แล้วคำสั่งนั้นเป็นจริงเนื่องจาก eigenvectors ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเป็นมุมฉาก (ดูคำตอบของ David C.Ullrich )
มิฉะนั้นคุณต้องใช้พื้นฐานของแพทย์เฉพาะทาง จากนั้นสำหรับแต่ละค่าลักษณะเฉพาะ$\lambda$คุณใช้ค่าเฉพาะตามเกณฑ์ที่สอดคล้องกับ $\lambda$และปรับมุมฉาก จากนั้นคุณจะได้รับพื้นฐานเชิงมุมของ eigenvectors
และใช่การพิสูจน์ในบันทึกการบรรยายไม่ถูกต้อง: การใช้ $A=I$อาร์กิวเมนต์จะพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ที่กลับหัวทุกตัวนั้นตั้งฉากกันซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จ