แหวนขนาดกะทัดรัด S-unital มีความละเอียดลึกซึ้ง

Question

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่ามีขนาดกะทัดรัดดอร์ฟทอพอโลยีunitalแหวน profinite การพิสูจน์ทั่วไปของวงแหวน s-unital (ซ้ายหรือขวา) (เช่นวงแหวนสำหรับทุกคน$r\in R$ เรามี $r\in Rr$ หรือทั้งหมด $r\in R$ เรามี $r\in rR$).

มีการอ้างอิงสำหรับข้อเท็จจริงทั่วไปนี้หรือไม่? มีลักษณะทั่วไปเพิ่มเติมหรือไม่ (เช่นคลาสของวงแหวนที่น่าสนใจซึ่งประกอบด้วยวงแหวน s-unital ซึ่ง Hausdorff ขนาดกะทัดรัดแสดงถึงความไม่สิ้นสุด)

(โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับวงแหวนทั้งหมดตามที่ระบุไว้ในกลุ่ม Hausdorff abelian ขนาดกะทัดรัด $A$เราสามารถบริจาคได้ $A$ ด้วยการคูณเป็นศูนย์ทำให้เป็นวงแหวนโทโพโลยี Hausdorff ขนาดกะทัดรัด)

Answer 1

นี่คือคำตอบโดยพื้นฐานในหนึ่งในคำตอบของแหวนโทโพโลยีขนาดกะทัดรัดทุกวงเป็นแหวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่? .

ถ้าเป็นแหวนขนาดเล็ก $R$ ทั้งสองยอมรับว่าไม่มีองค์ประกอบ $r\neq 0$ ด้วย $rR=0$หรือเงื่อนไขคู่ซ้าย - ขวาก็จะมีค่ามาก นี่คือเงื่อนไขที่แผนที่การคูณก่อให้เกิดและฝังตัว$R$ เข้าไปใน endomorphisms ของ Pontryagin dual ของกลุ่มสารเติมแต่งซึ่งเป็นสิ่งที่คุณใช้เพื่อพิสูจน์การขาดการเชื่อมต่อทั้งหมด

ดู Thm 3 ของเกี่ยวกับแหวน Topologica ขนาดกะทัดรัด โดย Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244