การเชื่อมต่อระหว่างจำนวนโซลูชันของ $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ และ norm-Euclidean Galois ลูกบาศก์ฟิลด์

Question

ฉันเพิ่งเจอปัญหาต่อไปนี้:

"หาค่าต่ำสุดของ $m \in \Bbb N$ ดังนั้น $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ มีอย่างน้อย $n$แนวทางแก้ไข สังเกตว่าค่าของ$x$ นั่นคือ mod ที่สอดคล้องกัน $m$ ถือเป็นทางออกเดียวกัน”

ฉันไม่สามารถหาแนวทางใด ๆ ได้ อย่างไรก็ตามด้วยการใช้โปรแกรมฉันสามารถคำนวณผลลัพธ์ต่อไปนี้และสังเกตรูปแบบ:

• สำหรับ $n \leq 3$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $7$.

• สำหรับ $3 <n \leq 9$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $63 = 7 \cdot 9$.

• สำหรับ $9 <n \leq 27$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.

• สำหรับ $27 <n \leq 81$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.

• สำหรับ $81 <n \leq 243$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.

• สำหรับ $243 <n \leq 729$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.

• สำหรับ $729 <n \leq 2187$, ที่เล็กที่สุด $m$ คือ $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.

การค้นหาอย่างรวดเร็วของ $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$ใน OEIS ผลลำดับ จำกัด ของตารางรากของดิสคริมิแนนต์ของบรรทัดฐานยุคลิด Galois ลูกบาศก์สาขา นอกจากนี้ยังตรงกับลำดับของตารางรากของดิสคริมิแนนต์ของ Galois เขตลูกบาศก์จำนวนครอบครองชั้นเหมาะบรรทัดฐานยุคลิด

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรเนื่องจากฉันเพิ่งเริ่มเรียนรู้คณิตศาสตร์แบบแยกส่วน ดังนั้นฉันจึงอยากถามว่า: สมการโมดูลาร์ข้างต้นเชื่อมโยงกับทฤษฎีจำนวนพีชคณิตได้อย่างไร? ทำไมค่าของ$n$ล้อมรอบด้วยพลังของสาม? มีวิธีที่ง่ายกว่าในการค้นหาไฟล์$m$ ให้ $n$เหรอ? อะไรคือผลที่ตามมาของเขตข้อมูลที่ จำกัด ?

Answer 1

คุณไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเพื่อแก้คำถามเริ่มต้นของคุณ ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนที่เคยมีประโยชน์คือสิ่งที่คุณต้องการมากหรือน้อย

ถ้า $m=\prod_ip_i^{a_i}$ คือการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $m$CRT ก็บอกว่าเรามีไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มหลายหลาก $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ คุณกำลังมองหาจำนวนองค์ประกอบของคำสั่งซื้อ $3$ (หรือ $1$) ในกลุ่มนี้ นายก$p=2$ไม่น่าสนใจ สำหรับทุกช่วงเวลา$p_i>2$ เป็นที่ทราบกันดีว่า $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ เป็นวงจรของการสั่งซื้อ $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$

ตามจำนวนคำตอบของ $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ คือสามถ้าเรามี $p_i=3, a_i>1$, หรือ $p_i\equiv1\pmod3$.

สังเกตว่าปัจจัยสำคัญทั้งหมดของตัวเลขที่คุณพบตรงตามเกณฑ์นี้ อย่างไรก็ตามเราสังเกตเพิ่มเติมว่า

• โดย CRT จำนวนคำตอบของ $x^3\equiv1\pmod m$ เป็นผลคูณของจำนวนวิธีแก้ปัญหาของโมดูโลที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นปัจจัยกำลังหลัก $p_i^{a_i}$.
• ดังนั้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการย่อขนาด $m$ มันไม่มีจุดหมายสำหรับ $m$ ที่จะมีปัจจัยสำคัญอื่น ๆ นอกเหนือจาก $3^2$ และ $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.

ตัวเลขทั้งหมดที่คุณพบเป็นผลิตภัณฑ์ของ $9$ และช่วงเวลาที่แตกต่างกันน้อยที่สุด $\equiv1\pmod3$. นั่นคือทั้งหมดที่มีให้