การใช้สัมประสิทธิ์ของรูปสามเหลี่ยมของปาสคาลหนึ่งแถวกับรายการที่อยู่ติดกันของแถวต่อมาจะทำให้เกิดรายการในรูปสามเหลี่ยมหรือไม่?
ฉันสงสัยว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าโดยทั่วไปถ้าฉันใช้แถวใด ๆ ของสามเหลี่ยมของปาสคาลและใช้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของแถวนั้นกับรายการที่อยู่ติดกันของแถวต่อมาคุณจะได้รับรายการในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล?
ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าคุณใช้สัมประสิทธิ์ $1,2,1$ในแถวที่สองไปยังแถวถัดไปคุณจะได้รับรายการในรูปสามเหลี่ยมของ Pascal เป็นทางการมากขึ้น$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ ในทำนองเดียวกันการแสดงให้เห็นว่าการนำค่าสัมประสิทธิ์ของแถวที่สามไปใช้กับแถวต่อมาส่งผลให้รายการในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาลเกี่ยวข้องกับการแสดงว่า $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$
ฉันรู้วิธีแสดง $(1)$ โดยใช้คำจำกัดความของการเลือก: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$และขยายคำศัพท์ทั้งหมดและทำให้เข้าใจง่ายขึ้น แต่ถ้าจะแสดงกรณีทั่วไปอาจจำเป็นต้องมีการเหนี่ยวนำบางอย่าง?
ตัวอย่างเช่นบางทีนี่อาจเทียบเท่ากับการแสดงสิ่งนั้น $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ สำหรับ $j\geq 1$. กรณีฐานเป็นเพียงข้อมูลประจำตัวของปาสคาลและฉันรู้ว่ามีการพิสูจน์แบบผสมรวมถึงการพิสูจน์พีชคณิตด้วย ตั้งสมมติฐานอุปนัย เราจำเป็นต้องแสดงสิ่งนั้น$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ อย่างไรก็ตามฉันไม่พบความสัมพันธ์ที่ดี b / w ขั้นตอนนี้และสมมติฐานอุปนัย
นี่คือลักษณะทั่วไปของเอกลักษณ์ของปาสคาล
คำตอบ
ใช่มันใช้งานได้ นี่คือวิธีการเหนี่ยวนำภาพประกอบ ...
$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$
$$ $$ $$ $$
= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =
$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$
$$ $$ $$ $$
= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =
$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$