การหาจุดระหว่างจุดตัดของระนาบสองข้าง

Question

เมื่อทำแบบฝึกหัดในการหาเส้นระหว่างสองจุดตัดของเครื่องบินเราต้องหาเวกเตอร์จุดและทิศทางของเส้น เวกเตอร์ทิศทางเป็นเรื่องง่ายเพราะมันตั้งฉากกับทั้งสองบรรทัดฐาน แต่ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีรับจุด

สมมติว่าเราได้สมการของเครื่องบินสองลำ

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

และ,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

ในการหาจุดตามแนวตัดกันมักจะได้รับคำสั่งให้ใส่พิกัดจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ $x, y$ หรือ $z$แล้วแก้ค่าพิกัดที่เหลือ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมเราถึงทำเช่นนี้เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเส้นระหว่างจุดตัดของสองเส้นจะต้องมีเสมอ$x$ , $y$ และ $z$ สกัดกั้น?

ฉันเห็นโพสต์นี้แต่ไม่คิดว่ามันจะตอบคำถามของฉันและก็ไม่ได้ระบุไว้ในบทความนี้

Answer 1

สมมติว่า $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. จากนั้นคุณสามารถจัดรูปแบบปัญหาได้ดังนี้:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ และแก้ปัญหาสำหรับ $x$ และ $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ นี่แสดงให้เห็นว่าสำหรับ $z=t\in{\Bbb R}$ คุณจะได้รับโซลูชันเฉพาะสำหรับ $x$ และ $y$. สิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่คือจุดตัดของระนาบทั้งสอง$P_1,P_2$ กับเครื่องบิน $z-t=0$ ให้สองเส้นที่ไม่ขนานกัน (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ AB ที่ไม่ใช่ศูนย์) ใน $x-y$เครื่องบิน. เส้นทั้งสองนี้จึงมีจุดตัดที่ไม่ซ้ำกัน

ตอนนี้เมื่อดีเทอร์มิแนนต์ AB ของคุณด้านบนเป็นศูนย์ (ดังนั้นสองบรรทัดของคุณใน $x-y$ ระนาบขนานกัน) จากนั้นคุณอาจมองหาค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ $B-C$ เมทริกซ์ (และแก้สำหรับ $y,z$) หรือไม่ใช่ศูนย์ $C-A$ เมทริกซ์ (และแก้สำหรับ $z,x$). หากดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้เป็นศูนย์แสดงว่าเครื่องบินเดิมทั้งสองของคุณขนานกันจริงดังนั้นจุดตัดจะว่างเปล่าหรือเป็นระนาบ

โปรดทราบว่าดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสามที่คุณคำนวณนั้นเป็นส่วนประกอบของผลคูณระหว่างเวกเตอร์ปกติสำหรับระนาบดังนั้นการที่ผลิตภัณฑ์ข้ามผลิตภัณฑ์ที่ไม่หายไปจึงเป็นเงื่อนไขที่ทำให้จุดตัดเป็นเส้นตรงได้

Answer 2

หนึ่งอาจแก้คำถามดังกล่าวได้โดยการตั้งสมมติฐานใด ๆ $(x,y,z)$เป็นศูนย์หรือทำให้ค่าคงที่ สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังการทำให้หนึ่งในนั้นเป็นศูนย์คือโดยส่วนใหญ่แล้วเส้นที่เราได้รับจะไม่ขนานกับระนาบดังนั้นมันจึงต้องตัดกันอย่างแน่นอน

เมื่อไม่เป็นเช่นนั้นการเก็บตัวแปรเป็นศูนย์จะทำให้ได้คู่สมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกัน