การคำนวณวงโคจรของคลาสคอนจูกาซีใน GAP

Question

ฉันมีกลุ่มขยาย $G=N{.}Q$ , $N$nonabelian ฉันจะคำนวณวงโคจรของ$Q$ ในคลาสผันคำกริยาของ $N$ใน GAP? ตัวอย่างเช่นใช้ G =$S_5=A_5{:}2$. อินพุตช่องว่าง "Orbits$(2,A_5)$ จะให้ 33 วงโคจรของ $C_2$ เกี่ยวกับองค์ประกอบของ $A_5$. ฉันจะคำนวณวงโคจรของ$C_2$ ในชั้นเรียนของ $A_5$ ใน GAP?

Answer 1

สมมติว่าคุณมีกลุ่ม $G$ ให้เป็นรูปธรรมกับกลุ่มย่อยปกติ $N$คุณสามารถทำได้โดยกำหนดฟังก์ชันของคุณเองสำหรับการดำเนินการ (ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีองค์ประกอบ $\omega$ ของโดเมนและองค์ประกอบกลุ่ม $g$ และการกลับมา $\omega^g$:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
  return ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
end;

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถคำนวณวงโคจรได้ตามปกติ ในตัวอย่างของคุณ:

gap> G:=SymmetricGroup(5);;
gap> N:=DerivedSubgroup(G);;
gap> cl:=ConjugacyClasses(N);
[ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
gap> OrbitsDomain(G,cl,OnConjugacyClasses);
[ [ ()^G ], [ (1,2)(3,4)^G ], [ (1,2,3)^G ], [ (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,5,4)^G ]
 ]

หากคุณลองสำหรับกลุ่มขนาดใหญ่การถ่ายโอนข้อมูลเกี่ยวกับศูนย์กลางของตัวแทนอาจเร็วขึ้นหากทราบ:

OnConjugacyClasses:=function(class,g)
local cl;
  cl:=ConjugacyClass(ActingDomain(class),Representative(class)^g);
  if HasStabilizerOfExternalSet(class) then
    SetStabilizerOfExternalSet(cl,StabilizerOfExternalSet(class)^g);
  fi;
  return cl;
end;