การรวมตามสูตรชิ้นส่วนหรือไม่ $\int f'g = - \int fg'$ ถือเป็นจริงสำหรับฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่รองรับอย่างกะทัดรัดและต่อเนื่อง

Question

สมมติว่า $f:\mathbb R \to \mathbb C$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของรูปแบบที่มีขอบเขตพร้อมการสนับสนุนใน $[-T,T]$. เรารู้ว่า$f$มีความแตกต่างกันเกือบทุกที่ ต่อไปให้$g \in C^\infty(\mathbb R)$ถูกผูกมัด การรวมตามสูตรชิ้นส่วนหรือไม่$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ ถือจริง?

Answer 1

ปล่อย $T > 1$ และปล่อยให้ $f = \chi_{[0,1]}$ เป็นฟังก์ชันลักษณะของ $[0,1]$. แล้ว$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ ในทางกลับกันตั้งแต่ $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

ถ้าเราเข้าใจ $f'$ เป็นอนุพันธ์ที่วัดมูลค่า $Df$ ของฟังก์ชัน BV แล้ว $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$และ $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ ที่เกิดขึ้นพร้อมกับ $-\int_{-T}^T f g'$.