เกือบจะแน่นอนว่าการบรรจบกันและลำดับที่ไม่ชัดเจน

Question

มีตัวอย่างของลำดับ $X_n$ ของตัวแปรสุ่มเพื่อให้ทุกลำดับชั้นเรียน $n_k$ มันถือว่า $X_{n_k}$ มาบรรจบกันเกือบแน่นอน $0$แต่ $X_n$ ไม่มาบรรจบกันเกือบแน่นอน $0$เหรอ?

ลำดับ $n_k$ เป็น lacunary เมื่อมี $\lambda > 1$ ดังนั้น $n_{k+1} > \lambda n_k$ เพื่อทุกสิ่ง $k$.

Answer 1

ช่องว่างความน่าจะเป็นคือ $[0,1]$ด้วยมาตรการ Lebesgue

ปล่อย $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ อย่างชัดเจน $X_n$แตกต่างไปทุกที่ ถ้า$n_k$ เป็นครรภแล้วมีจำนวนคงที่ $M$ (เกี่ยวข้องกับ $\log_2 \lambda$) เช่นนั้นมากที่สุด $M$ ของ $n_k$ โกหกใด ๆ $[2^n, 2^{n+1})$และเซตที่แต่ละค่าไม่ใช่ศูนย์มีค่ามากที่สุด $\frac 1{n^2}$. ดังนั้นการใช้ Borel-Cantelli Lemma เราจะเห็นว่า$X_{n_k} \to 0$ เช่น

คุณยังสามารถสร้างไฟล์ $X_n$อิสระ แต่มีการแจกแจงแบบเดียวกัน จากนั้นคุณสามารถแสดงได้$X_n$ แตกต่างโดยใช้ Borel-Cantelli Lemma ตัวที่สอง

Answer 2

เนื่องจากคำตอบที่ได้รับการยอมรับนั้นชัดเจนคำศัพท์ Borel Cantelli ทำให้สิ่งนี้เทียบเท่ากับคำถามที่ง่ายกว่ามากในการค้นหาลำดับ $p_k\ge 0$ ที่ไม่สามารถสรุปได้ แต่เพื่อให้ทุกครั้งต่อมาสามารถสรุปได้

ตัวอย่างเช่นใช้ $p_t$ เป็นฟังก์ชันลดลงด้วย $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, ชอบ $p_t = 1/t$ สำหรับ $t\in \mathbb{R}_{+}$. ปล่อย$X_n$ เป็นลำดับของ Bernoulli ที่เป็นอิสระ $(p_n)$ตัวแปรสุ่ม แล้ว$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$ลำดับนี้จะเป็น $1$ บ่อยครั้งอย่างไม่สิ้นสุด (ในทำนองเดียวกันก็จะเป็น $0$บ่อยมากเช่นกัน) ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็น$1$มันไม่บรรจบกัน ในทางกลับกันสำหรับลำดับการศึกษาใด ๆ$n_k$จะมีบ้าง $\lambda > 1$ ดังนั้น $n_k > \lambda^k n_1$. ดังนั้น,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ และความน่าจะเป็นที่ $X_{n_{k}} > 0$ มักจะไม่มีที่สิ้นสุด $0$ โดย Borel Cantelli ดังนั้นลำดับจึงมาบรรจบกัน $0$ เกือบจะแน่นอน