คำจำกัดความที่ผิดปกติของชุดต้นเสียง
ฉันเคยเห็นคำจำกัดความของชุดต้นเสียงหลายคำ แต่มันดูแตกต่างจากของฉัน หนังสือของฉันกำหนดชุดต้นเสียงเป็น:
ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดของแบบฟอร์ม $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ ที่ไหน $a_{n}$ รับค่าอย่างน้อยหนึ่งค่า $0$ หรือ $2$.
ชุดนี้เป็นอย่างไร? ฉันไม่เข้าใจความหมายของคำว่า "ที่ไหน$a_{n}$ รับค่าอย่างน้อยหนึ่งค่า $0$ หรือ $2$"หมายความว่าอย่างนั้น $a_{n}$ สลับกันเช่น $0$, $2$, $0$, $2$เหรอ? พวกคุณช่วยให้ค่าบางอย่างในชุดนี้ได้ไหม แล้วภาพนี้ที่ฉันเห็นทุกที่ต้องทำอย่างไร?
คำตอบ
หนังสือของคุณหมายความว่าชุดต้นเสียงคือชุดของตัวเลข $x$ ที่สามารถเขียนในแบบฟอร์มได้ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ สำหรับบางลำดับ $a_n$ แต่ละที่ $a_n$ เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง $0$ หรือ $2$. หนาแน่นน้อยกว่าเล็กน้อยคุณอาจพูดว่า:
ตัวเลขใน $[0,1]$ อยู่ในชุดต้นเสียงหากสามารถเขียนได้เป็นสองเท่าของผลรวมของพลังที่แตกต่างกันของ $3$.
หมายเลข $x$ ใน $[0,1]$ อยู่ในชุดต้นเสียงหากมีส่วนขยายที่ไม่เคยใช้ a $1$. (นี่ก็เหมือนกับข้างบนโดยตระหนักว่าการขยายด้านท้ายเป็นเพียงแค่ "เขียนจุดทศนิยมจากนั้นจึงใส่ตัวเลข$\{0,1,2\}$ และพิจารณาผลรวมของ $n^{th}$ ระยะเวลา $3^{-n}$ เหนือสิ่งอื่นใด $n$")
โดยเฉพาะ $x$ ที่ไหน $a_n$ สลับระหว่าง $0$ และ $2$ จึงอยู่ในชุดต้นเสียง (นี้ $x$ เท่ากับ $1/4$) แต่ยังมีลำดับอื่น ๆ อีกมากมาย $a_n$ ซึ่งมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น $0$ และ $2$ซึ่งทั้งหมดนี้ให้องค์ประกอบที่แตกต่างกันของชุดต้นเสียง
ภาพที่คุณแสดงแสดงการสร้างชุดเดียวกันโดยใช้ช่วงเวลาและลบกลางที่สามของแต่ละช่วงเวลาซ้ำ ๆ สิ่งนี้ให้ลำดับของชุดที่มีขนาดเล็กลงและเล็กลงและจุดตัดของชุดทั้งหมดนั้นคือชุดต้นเสียงและเป็นชุดเดียวกับที่หนังสือของคุณกำหนด ความเท่าเทียมมีความชัดเจนที่สุดในการขยายตัวที่สาม:
ในตอนแรกคุณมีช่วงเวลา $[0,1]$. จากนั้นคุณลบช่วงเวลา$(1/3,2/3)$ เนื่องจากระยะแรกของการขยายตัวของพวกเขาจะต้องเป็น $.1\ldots_3$ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถเขียนในรูปแบบที่ต้องการได้ จากนั้นคุณลบ$(1/9,2/9)$ และ $(7/9,8/9)$ ซึ่งการขยายภายนอกเริ่มต้นขึ้น $.01\ldots_3$ และ $.21\ldots_3$ เพราะในขณะที่ตัวเลขหลักแรกของพวกเขาก็โอเค (เป็น $0$ หรือ $2$) ตัวเลขหลักที่สองไม่ใช่ จากนั้นคุณจะลบตัวเลขเหล่านั้นที่เริ่มต้นส่วนขยายด้านท้าย$.001\ldots_3$ หรือ $.021\ldots_3$ หรือ $.201\ldots_3$ หรือ $.221\ldots_3$ และอื่น ๆ - และตัวเลขเดียวที่เหลืออยู่ในตอนท้ายจะเป็นตัวเลขที่สามารถเขียนได้โดยมีส่วนขยายด้านท้ายเท่านั้น $0$และ $2$ซึ่งเป็นชุดตัวเลขที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบหนังสือของคุณ