ความแปรปรวนนูนวัดความเสี่ยง

Aug 15 2020

ฉันหวังว่าคุณจะช่วยฉันได้สำหรับคำถามที่ฉันมีปัญหานี้ ความแปรปรวนเป็นการวัดความเสี่ยงแบบนูนหรือไม่? ฉันเดาว่าไม่ใช่ แต่ฉันพบว่ามันยากมากที่จะหาตัวอย่างตอบโต้

นี่คือความคิดของฉัน ฉันพยายามหาตัวอย่างที่:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. ฉันรู้แล้ว$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

ทีนี้ถ้าความสัมพันธ์มีค่าสูงสุดในกรณีนี้ $corr(X,Y)=1$ แล้ว:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

แต่ฉันยังไม่พบตัวอย่างที่มากกว่านี้ $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

คุณช่วยให้คำแนะนำฉันได้ไหม? ฉันชื่นชมมันมาก

คำตอบ

2 fesman Aug 16 2020 at 03:22

ให้เราพิจารณากรณีความสัมพันธ์สูงสุดของคุณ คุณกำลังพยายามหาค่าเช่นนั้น

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

หรือ

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

หรือ

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

หรือ

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

หรือ

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่เคยเป็นจริงสำหรับใคร $0\leq\lambda\leq 1.$ เนื่องจาก LHS นั้นยิ่งใหญ่ที่สุดในกรณีที่มีความสัมพันธ์สูงสุด:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

และความแปรปรวนเป็นการวัดความเสี่ยงแบบนูน