ความสัมพันธ์เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์
ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับการตีความทางเรขาคณิตของสหสัมพันธ์เป็นมุมระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว สมมติ$X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสองตัวที่มีค่าเฉลี่ย $0$ และพื้นที่ของรัฐ $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. แล้ว$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ และความสัมพันธ์ $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ ฉันไม่เห็นว่านี่เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์อย่างไรเว้นแต่ฉันจะกำหนดเวกเตอร์สองตัว $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ ซึ่งในกรณีนี้ฉันเห็นว่า $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ ที่ไหน $\theta$ คือมุมระหว่าง $x$ และ $y$. นี่เป็นวิธีที่ถูกต้องในการตีความ (เป็นการกำหนดเวกเตอร์ของค่าของแต่ละสถานะที่ถ่วงน้ำหนักด้วยรากที่สองของความน่าจะเป็นสมทบ)
คำตอบ
นี่เกือบถูกต้อง ในการตีความทางเรขาคณิตดังกล่าวเราต้องดำเนินการให้ตรงตามที่คุณทำและกำหนดสองสิ่ง:
- ตัวแปรสุ่มถูกตีความว่าเป็นเวกเตอร์อย่างไร?
- ผลคูณสเกลาร์ (หรือความยาวและมุมเท่ากัน) ระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้นกำหนดไว้อย่างไร?
การตีความสำหรับ 1. เป็นเพียงการตีความมาตรฐานของฟังก์ชันเป็นเวกเตอร์ ได้แก่ ตัวแปรสุ่มแมปพื้นที่สถานะกับ$\mathbb{R}$ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์เช่นฟังก์ชันจริงอื่น ๆ ในกรณีของคุณสเตทสเปซ จำกัด ดังนั้นสเปซเวกเตอร์จึงเป็นมิติที่ จำกัด คุณสามารถระบุได้ด้วย$\mathbb{R}^3$ตรงตามที่คุณแนะนำ แต่คุณไม่ได้รวมความน่าจะเป็น! ได้แก่ ตัวแปรสุ่มของคุณ$X$ เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$
ความน่าจะเป็นใส่เฉพาะสำหรับ 2: สังเกตว่าความคาดหวังของผลคูณของตัวแปรสุ่มค่าเฉลี่ยศูนย์ $\mathbb{E}[XY]$ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งเป็นทั้งสองข้างสมมาตร (ค่อนข้างชัดเจน) และไม่เกิดขึ้นตั้งแต่ $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ เอ
ดังนั้นคุณเพียงแค่กำหนด $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ และพร้อมที่จะวัดมุม!