เมื่อใดเป็นไปได้ที่จะใช้เอกลักษณ์ Parseval-Plancherel เพื่อแก้ปัญหาอินทิกรัล

Question

อินทิกรัลอยู่ในรูปแบบ $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. ที่การแปลงฟูเรียร์ของ$\sigma$ ฟังก์ชันคือ $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ และฟังก์ชั่น $\mu(x)$ ให้โดย $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

การแปลงฟูเรียร์ของ $\mu(x)$ สามารถพบได้ค่อนข้างง่าย $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

คำถามคือ:

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ข้อมูลประจำตัว Parseval-Plancherel และเขียนอินทิกรัลข้างต้นเป็น $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$เหรอ?

ถ้าเป็นเช่นนั้นอินทิกรัลข้างต้นจะกลายเป็น $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

ซึ่งดูเหมือนการแปลงฟูเรียร์ของ $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$ฟังก์ชัน การแปลงฟูริเยร์นี้คำนวณอย่างไร

Answer 1

ระลึกถึงตัวตนที่ฟูเรียร์แปรสภาพ $K(x)=\text{sech}(x)$ คือ $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

การใช้เอกลักษณ์นี้เป็นการแปลงฟูริเยร์ของ $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย

\ begin {สมการ} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ระบุ} \ end {สมการ}

การใช้สมการความสัมพันธ์นี้อินทิกรัลที่กำหนดสามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างง่ายดาย

\ เริ่มต้น {สมการ} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {rest} \ end {สมการ}

ตรวจสอบคำตอบเป็นตัวเลข พล็อต: ค่าคงที่ของ พล็อตคงที่ c