มีปัญหาในการทำความเข้าใจข้อความที่ใช้ผลลัพธ์เชิงความหมายแม้ว่าจะทราบคำจำกัดความก็ตาม
ฉันรู้ว่าผลลัพธ์ทางความหมายหมายความว่าข้อความทั้งหมดทางด้านซ้ายสามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด (เป็นที่น่าพอใจ) หากด้านขวาเป็นจริง หากด้านขวาเป็นเท็จข้อความทางด้านซ้ายไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด
มีข้อความบางอย่างที่ทำให้ฉันมีปัญหา
ครั้งแรก: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ ถ้าฉันเริ่มต้นด้วยด้านซ้ายของ iff ข้อความทั้งหมดก็สมเหตุสมผล
ปัญหาคือเมื่อฉันเริ่มต้นด้วยด้านขวาของ iff และ $\Gamma$ เป็นความจริง, $\phi$ เป็นเท็จและ $\psi$เป็นความจริง. นั่นเป็นคำสั่งที่ถูกต้อง แต่พิสูจน์ได้ว่าข้อความทั้งหมดผิด
ที่สอง: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$อาจเป็นจริงแม้ว่าด้านซ้ายจะเป็นเท็จ ฉันคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้
ที่สาม:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
ถ้า $\Delta$ ไม่สามารถระบุได้และ $\phi$ เป็นความจริงส่วนถ้าเป็นจริงและส่วนนั้นผิด
แน่นอนว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่างถ้าฉันยังคงพบปัญหานี้
คำตอบ
ฉันรู้ว่าผลลัพธ์ทางความหมายหมายความว่าข้อความทั้งหมดทางด้านซ้ายสามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด (เป็นที่น่าพอใจ) หากด้านขวาเป็นจริง
ไม่นั่นไม่ใช่ความหมาย มันเป็นอีกทางหนึ่งอย่างแน่นอน: ด้านขวามือจะเป็นจริงหากข้อความทั้งหมดทางด้านซ้ายเป็นจริง Iow คำจำกัดความของผลลัพธ์เชิงความหมายคือภายใต้การตีความใด ๆ ก็ตาม RHS เป็นจริงหรืออย่างน้อยหนึ่งข้อความใน LHS เป็นเท็จ ไม่จำเป็นว่า LHS จะเป็นจริงหาก RHS เป็น!
บางทีมันอาจจะง่ายกว่าที่จะเห็นมันจากแง่ลบ: สิ่งเดียวที่จะต้องไม่เกิดขึ้นคือให้ข้อความทั้งหมดใน LHS เป็นจริง แต่ RHS เป็นเท็จพร้อมกัน หากภายใต้การตีความบางอย่าง RHS เป็นจริง แต่ LHS ไม่ใช่ก็ไม่เป็นไร ซึ่งหมายความโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าหาก LHS ไม่สามารถจำลองเป็นจริงได้ (= ไม่น่าพอใจ) ก็จะไม่มีการตีความตอบโต้ดังกล่าวและผลที่ตามมาจะหายไป
(ดูหมายเหตุเกี่ยวกับ (un) ความน่าพอใจในย่อหน้าสุดท้ายการใช้งานของคุณที่นี่แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจผิดในความหมาย)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ ถ้าฉันเริ่มต้นด้วยด้านซ้ายของ iff ข้อความทั้งหมดก็สมเหตุสมผล
ปัญหาคือเมื่อฉันเริ่มต้นด้วยด้านขวาของ iff และ $\Gamma$ เป็นความจริง, $\phi$ เป็นเท็จและ $\psi$เป็นความจริง. นั่นเป็นคำสั่งที่ถูกต้อง แต่พิสูจน์ได้ว่าข้อความทั้งหมดผิด
คุณกำลังอ่านโครงสร้างของคำสั่งผิด คุณกำลังดูการกำหนดค่าความจริงที่เป็นรูปธรรมและพยายามตีความจากการตีความนั้นว่าผลที่ตามมาทางความหมายทางซ้ายและขวาถือหรือไม่ แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่พูด: คำสั่งแปลว่า
[ภายใต้การตีความทั้งหมดข้อความใดข้อความหนึ่งใน $\Gamma, \phi$ เป็นเท็จหรือ $\psi$เป็นจริง]
iff
[ภายใต้การตีความทั้งหมดข้อความใดข้อความหนึ่งใน$\Gamma$ เป็นเท็จหรือ $\phi \to \psi$ เป็นความจริง].
นั่นคืออันดับแรกเราต้องดูการตีความทั้งหมดเพื่อพิจารณาว่าผลที่ตามมาทางความหมายมีอยู่หรือไม่จากนั้นจึงประเมิน "if and only if" มองแค่กรณีเดียวที่$\Gamma$ เป็นความจริง, $\phi$ เท็จและ $\psi$ true ไม่อนุญาตให้เราสรุปว่าด้านใดด้านหนึ่งของ "iff" ถือ
ที่สอง: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$อาจเป็นจริงแม้ว่าด้านซ้ายจะเป็นเท็จ ฉันคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้
ดูด้านบน: เป็นอีกทางหนึ่ง จำเป็นเท่านั้นที่จะเป็นไปไม่ได้ที่ RHS จะเป็นเท็จแม้ว่า LHS จะเป็นจริงก็ตาม และนี่จะไม่มีทางเป็นเช่นนั้นได้หาก LHS ไม่สามารถเป็นจริงภายใต้การตีความใด ๆ ในตอนแรกซึ่งเป็นกรณีของ$\bot$ดังนั้นผลที่ตามมาจึงเหม่อลอย
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
ถ้า $\Delta$ ไม่สามารถระบุได้และ $\phi$ เป็นความจริงส่วนถ้าเป็นจริงและส่วนนั้นผิด
คุณสามารถหยุดอ่านหลังจาก "ถ้า $\Delta$ ไม่น่าพอใจ ": จากนั้น LHS ทั้งสองข้อจะไม่สามารถกลายเป็นจริงได้ดังนั้นผลที่ตามมาทั้งสองจะหยุดนิ่งและ" ถ้าเป็นเช่นนั้น "ก็พอใจ
และเพื่อชี้แจงคำศัพท์: "$\Delta$ น่าพอใจ / ไม่น่าพอใจ "หมายความว่าเป็นไปได้ / เป็นไปไม่ได้ที่ข้อความทั้งหมดจะกลายเป็นจริงพร้อมกันภายใต้การตีความใด ๆ นั่นคือ $\Delta$ไม่ขัดแย้ง / ขัดแย้ง หากเป็นเพียงกรณีภายใต้การตีความเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งว่าข้อความทั้งหมด / ไม่ใช่ทั้งหมดใน$\Delta$ เป็นเรื่องจริงเราไม่ได้พูดอย่างนั้น $\Delta$เป็นที่น่าพอใจ / ไม่น่าพอใจ แต่เป็นจริง / เท็จ เช่นเดียวกับสูตรเดียว:$\phi$ เป็นจริง / เท็จในการตีความเฉพาะและน่าพอใจ / ไม่น่าพอใจหากมีการตีความอย่างน้อยหนึ่ง / ไม่มีเลยที่เป็นจริง
แบบจำลองของ $\Gamma$ ซึ่งใน $\phi$ เป็นเท็จไม่ได้กล่าวอะไรเกี่ยวกับข้อความดังกล่าว $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: ที่คำสั่งเพียงแค่บอกว่า$\psi$ เป็นจริงในทุกรุ่นของ $\Gamma$ และ $\phi$ซึ่งเป็นกรณีที่แน่นอนถ้า $\phi\to\psi$ เป็นจริงในทุกรุ่นของ $\Gamma$.