เปิดฟังก์ชันมูลค่าจริงที่ถูกผูกไว้ $[0,1]$บูรณาการไม่ได้?
ฟังก์ชันดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่? ถ้าใช่มันต้องเป็นกรณีที่มีพยาธิสภาพมาก ฉันกำลังพูดถึงที่นี่เกี่ยวกับการทำงานร่วมกันของ Lebesgue
ตัวอย่างเช่นถ้า $f(x)=1$ ถ้า $x$ มีเหตุผลและเป็นศูนย์ไม่เช่นนั้น $\int_0^1 f(x)dx = 0$. ดังนั้นคุณต้องหาตัวอย่างทางพยาธิวิทยามากกว่านั้น ตัวอย่างที่เป็นไปได้มีดังต่อไปนี้
ปล่อย $f(x)$ ตระหนักถึงตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียน $Z_x$ ด้วยค่าเฉลี่ยเท่ากับ $0$ และความแปรปรวนเท่ากับ $1$. ให้เราสมมติว่า$Z_x$มีการแจกจ่ายเหมือนกันและเป็นอิสระ ฟังก์ชั่นดังกล่าว$f(x)$ไม่มีที่ไหนต่อเนื่องและสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นสัญญาณรบกวนสีขาว อย่างไรก็ตามคุณสามารถโต้แย้งว่าอินทิกรัลเปิดอยู่$[0,t]$ คือค่า $B(t)$ ของการรับรู้การเคลื่อนไหวของ Brownian เริ่มต้นด้วย $B(0)=0$และวัดตามเวลา $t$. ด้วยประการฉะนี้$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. โปรดทราบว่าการเคลื่อนไหวของ Brownian ไม่มีที่ไหนที่แตกต่างกันได้ดังนั้นอาจมีความขัดแย้งในสิ่งที่ฉันพูดที่นี่
อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยพบตัวอย่างตอบโต้: ฟังก์ชั่นที่ล้อมรอบ $[0, 1]$แต่ไม่สามารถรวมได้ในช่วงเวลานั้น แสดงตัวอย่างได้ไหม
คำตอบ
ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชันขอบเขตบน $[0,1]$.
ทั้ง $f$ สามารถวัดผลได้แล้ว $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ ดังนั้น $f$ เป็นแบบบูรณาการ
ทั้ง $f$ไม่สามารถวัดผลได้ สิ่งนี้มีอยู่ถ้าคุณถือว่าสัจพจน์ที่เลือก จากนั้นคุณสามารถใช้ชุดที่วัดไม่ได้$\Omega$ และรับ $f = \chi_\Omega$ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของชุดนี้ตามที่แนะนำโดย Nate Eldredge ตามความหมายแล้วฟังก์ชันนี้จะไม่สามารถผสานรวมได้