พิสูจน์การบรรจบกันในการกระจายโดยใช้ทฤษฎีบทความต่อเนื่องของ Levy
ฉันกำลังพยายามแก้คำถามต่อไปนี้ - ส่วน (a) และ (b) ดูเหมือนจะมีโครงสร้างที่คล้ายกันมาก แต่ฉันไม่สามารถแก้ส่วน (b):
ความพยายามของฉัน:
ในส่วน (a) เราใช้ทฤษฎีบทความต่อเนื่องของ Levy แก้ไข$u \in \mathbb{R}$ และหมายเหตุ $$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
โดยความเป็นอิสระของ $N_t$ และ $X_M(k)$ และใช้การบรรจบกันแบบครอบงำเพื่อแลกเปลี่ยนผลรวมและความคาดหวังสำหรับความเท่าเทียมกันที่สองและโดยคุณสมบัติ iid ของ $X_M(k)$สำหรับคนที่สาม ตอนนี้เราจะจัดการกับเลขชี้กำลังเท่านั้นและสำหรับชวเลขที่เรากำหนด$Z \equiv X_M(1)$:
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$ ที่เราใช้ DCT อีกครั้งและสังเกตว่าโดยสมมาตรของการแจกแจงสำหรับ $Z$ ความคาดหวังคือ 0
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
ที่ไหน $c = \frac{i u}{\sigma_M}$. สำหรับทุกๆ$t \ge 1$ และผลรวมข้างต้นมีโมดูลัสขอบเขต (โดย $\exp(|c|M)$ ตัวอย่างเช่น) ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นถึงการบรรจบกันของฟังก์ชันคุณลักษณะกับฟังก์ชันของก $N(0,1)$ และเราอาจสรุปได้บางส่วน (ก)
ในส่วน (b) ฉันพยายามทำสิ่งเดียวกันซึ่งเห็นได้ชัดว่าจะต้องมีการคำนวณ $\sigma_M$เนื่องจากเราไม่ได้ใช้ส่วนนั้น (ก) มันแสดงให้เห็นเล็กน้อยว่า (สำหรับความกะทัดรัดใส่$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$) $$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
ฉันเชื่อว่าการบรรจบกันหลังเส้น(L)สามารถถือได้ถ้าและต่อเมื่อ$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$ ฉันได้ลองเขียนโมดูลัสของผลรวมใหม่เพื่อรวมข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับ $\sigma_{M(t)}$เช่นเท่ากับ $$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$ฉันไม่รู้ว่าจะสรุปอย่างไรจากที่นี่ โปรดช่วยถ้าคุณทำได้ - ฉันเสียเวลาโง่ ๆ ไปกับเรื่องนี้
คำตอบ
โดยสังเกตว่ามีค่าคงที่ $C > 0$ ซึ่ง
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
ถือไว้สำหรับทุกคน $x \in \mathbb{R}$, เรามี
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
ตอนนี้โดยสังเกตว่า
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
เราสามารถผูกความแตกต่างเพิ่มเติมได้ว่า
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
สำหรับค่าคงที่แน่นอน $C_2 > 0$. เนื่องจากขอบเขตนี้มาบรรจบกัน$0$ เช่น $t \to \infty$ โดยสมมติฐานบน $M$ข้อสรุปที่ต้องการมีดังนี้
ภาคผนวก
ฉันเชื่ออย่างนั้น $\pi$ ในตัวส่วนของ $\text{(5)}$เป็นการพิมพ์ผิด สูตรที่ถูกต้องจะเป็น$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
ความถูกต้องของ $\text{(*)}$ ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด อย่างยิ่ง $x \in \mathbb{R}$ดังนั้นจึงไม่สามารถรับได้โดยตรงจากการขยายชุดกำลัง อย่างไรก็ตามสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สูตรที่ชัดเจนสำหรับระยะเวลาที่เหลือในการประมาณแบบเทย์เลอร์ ตัวอย่างเช่นเราอาจใช้$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$ จึงพิสูจน์ได้ $\text{(*)}$ ด้วย $C = \frac{1}{6}$.