เราสามารถกำหนด $z^{\frac{1}{2}}$ เมื่อเปิดฟังก์ชั่นโฮโลมอร์ฟิก $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$เหรอ?

Aug 16 2020

พิจารณา $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

เราจะเห็นว่าตัวอย่างเช่น $z^{\frac{1}{2}}$ สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคที่อยู่ใกล้ $z=\frac{1}{2}$โดยการเลือกย่านเล็ก ๆ ของ $z=\frac{1}{2}$และกำหนดความเหมาะสม $arg(z)$ เพื่อให้มันต่อเนื่องนั่นเอง

คำถามของฉัน: ทำได้ $z^{\frac{1}{2}}$ ถือเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$เหรอ? ที่นี่$D$ คือดิสก์ยูนิตใน $\mathbb{C}$.

โดยฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกฉันหมายความว่าแผนที่$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ เป็นไปตามสมการ Cauchy-Riemann บน $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

ตามคำตอบด้านล่างเราเห็นว่าคำตอบสำหรับคำถามของฉันเป็นลบ ฉันต้องการพิจารณาคำถามที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมดังต่อไปนี้:

คำถามเพิ่มเติม : คำถามที่คล้ายกัน แต่คราวนี้เราพิจารณาโดเมน$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$สำหรับขนาดเล็กมาก $\epsilon$.

คำตอบ

3 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 06:06

ไม่นี่เป็นไปไม่ได้ ฟังก์ชั่นนี้จะถูกล้อมรอบในพื้นที่ใกล้เคียงของ$0$ซึ่งจะทำให้ $0$ ความเป็นเอกฐานที่ถอดออกได้ของ $z^{\frac{1}{2}}$. แต่แล้ว$0$ ก็จะเป็นเอกฐานที่ถอดออกได้ของอนุพันธ์ $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$ซึ่งไม่สามารถมีความเป็นเอกฐานแบบถอดได้ที่ $0$ เนื่องจากไม่ได้อยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุ