แสดงว่าถ้า $a,b \in \mathbb{R}^n$แล้ว $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$
แสดงว่าถ้า $a,b \in \mathbb{R}^n$แล้ว $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$
เรามีสิ่งนั้น $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$
และนั่น $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$
อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าฉันจะไปต่อจากที่นี่ได้อย่างไร ถ้าฉันใช้$||a||-||b||$ ฉันเข้าใจ $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$
ซึ่งไม่ได้ช่วยอะไรเลย ฉันมาทำอะไรที่นี่?
คำตอบ
$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$
ดังนั้น $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.
ในทำนองเดียวกันเรามี $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$
ดังนั้น $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$
นั่นคือ $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$
เคล็ดลับส่อเสียด: เขียน $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$และใช้อสมการสามเหลี่ยมโดยตรง
ในขณะที่ @Siong Thye Goh ได้แก้ปัญหาแล้วฉันจะพูดถึงสิ่งหนึ่ง
$\blacksquare~$ การอ้างสิทธิ์:สำหรับVector Subspaceใด ๆ $(X, \| \cdot \|)$ ของ $~\mathbb{K}^{n}$เรามีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ที่พึงพอใจ \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}
$\blacksquare~$หลักฐาน:เรามีโดย$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} แล้ว $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$
ดังนั้นเรามีสิ่งนั้น $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.
การใช้อสมการใด ๆ $x, x_0 \in X~$ สำหรับ $(X, \| \cdot \|)$ คือปริภูมิเชิงเส้นที่กำหนดและ $X$ เป็นพื้นที่ย่อยของ $\mathbb{R}^n$เรามีข้อเรียกร้องที่สำคัญมาก
$\bullet~$ อ้างสิทธิ์:แผนที่$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$มีความต่อเนื่องหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือบรรทัดฐาน $\| \cdot \|$เป็นไปอย่างต่อเนื่อง
$\bullet~$ การพิสูจน์:จากคำจำกัดความของความต่อเนื่องที่เรามีสำหรับสิ่งที่กำหนด$\epsilon > 0$, มีอยู่ $\delta > 0$ ดังนั้น
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} จากปัญหาที่แล้วเรามีความไม่เท่าเทียมกัน \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} ให้เราเลือก $\epsilon = \delta$. ดังนั้นเราจึงมี\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} ซึ่งแสดงว่าแผนที่ $\| \cdot \|$เป็นอย่างต่อเนื่องที่$x_{0}$. เช่น$x_{0}$คือพลแล้วฟังก์ชั่น$\| \cdot \|$ต่อเนื่องกันทั้งพื้นที่ $X$.
สิ่งนี้ทำให้การพิสูจน์ที่สำคัญของบรรทัดฐานใด ๆ ต่อเนื่องบนพื้นที่ย่อยเวกเตอร์มิติ จำกัดของ$\mathbb{K}^n$.
ไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม แต่ไม่มีเจตนาที่จะสแปม :)