แสดงว่า$x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$มีขอบเขต โมโนโทน และค้นหาขีดจำกัดของมัน
พิสูจน์ว่า$x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$มีขอบเขตและจำเจ แล้วค้นหาขีดจำกัดของมัน
ความพยายามของฉันที่ขอบเขต:
(ใช้การเหนี่ยวนำ) สำหรับกรณีฐานที่เรามี$0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. สมมติว่าลำดับมีขอบเขตสำหรับ$n = k$. แล้ว,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
ฉันถูกทิ้งโดยเทอม$x_{n + 2}$ในสูตรเรียกซ้ำและฉันไม่เห็นพีชคณิตเพื่อสร้างขั้นตอนข้างต้นโดยไม่ได้รับ$x_{n + 2}$ในนิพจน์ของขอบเขตบน/ล่าง
ขอบคุณ
อัปเดต:
ฉันได้เพิ่มสิ่งนี้ในการพิสูจน์:
เรามี$0 \leq x_1 = 0 \leq 2$และ$0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. สมมติว่าลำดับมีขอบเขตสำหรับ$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
ดังนั้นตามหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ลำดับจึงมีขอบเขต
สิ่งนี้ถูกต้องหรือไม่
คำตอบ
สังเกตสิ่งนั้น$x_1 = 0$,$x_2 = 0$,$x_3 = 1$,$x_4 = \frac{4}{3}$. เราสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยว่า$x_n <2$สำหรับทุกอย่าง$n$. สมมติว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. แล้ว$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าลำดับนั้นเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่าย สมมติว่า$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ถือสำหรับบางคน$n\geq 2$. แล้ว$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ดังนั้น$x_n$มีขอบเขตจากด้านบนและเพิ่มขึ้น ด้วยเหตุนี้จึงมาบรรจบกัน ขีดจำกัดของมัน$x$จะต้องตอบสนอง$$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$คือเราต้องมี$x=2$.
ไม่ ข้อโต้แย้งของคุณไม่ถูกต้อง คุณแสดงว่า
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
หากคุณใช้การเหนี่ยวนำ สิ่งนี้นำไปสู่
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ซึ่งไม่มีขอบเขต
แต่คุณสามารถใช้
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
สำหรับขอบเขต เราใช้การเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่ง มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่ลำดับนั้นเป็นบวก เราต้องการแสดงให้ทุกคนเห็น$n \in \mathbb{N}$เรามี$x_{n} < 2$
- สำหรับ k = 1 เรามี:$x_{1} = 0 < 2$
- อนุญาต$n \in \mathbb{N}$และสมมติว่าสำหรับทุกคน$k \leq n$เรามี:$x_{k} < 2$
- เรามี:$x_{n-1} < 2$และ$x_{n} < 2$
แล้ว:$\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
เพราะฉะนั้น:$x_{n+1} < 2$
สำหรับความซ้ำซากจำเจให้ใช้การเหนี่ยวนำอีกครั้งเพื่อพิสูจน์ว่าทั้งหมด$n \in \mathbb{N}$,$x_{n+1} \geq x_{n}$
- สำหรับ n = 1 เห็นได้ชัดว่า$x_{2} = 0 \geq x_{1}$เนื่องจาก$x_{1} = 0$
- อนุญาต$n \geq 2$และสมมติว่าสำหรับทุกคน$k \leq n$เรามี:$x_{k+1} \geq x_{k}$
เรามี:$x_{n} \geq x_{n-1}$และ$x_{n+1} \geq x_{n}$
เพราะฉะนั้น:$\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
ดังนั้น:$x_{n+2} \geq x_{n+1}$
เราสรุปได้ว่าลำดับนั้นเพิ่มขึ้นและด้วยเหตุนี้จึงเป็นเสียงเดียว และเนื่องจากมันถูกล้อมรอบ ลำดับจึงมาบรรจบกัน อนุญาต$L$เป็นลิมิตของลำดับแล้ว$L$เป็นคำตอบของสมการ$x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$ซึ่งให้สิ่งนั้น$L = 2$