ถ้า $\{a_n\}$ เป็นลำดับบวกและ $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$แล้วแสดงว่า $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Aug 18 2020

ปล่อย $a_n$ เป็นลำดับบวก

เรากำหนด $b_n$ ดังต่อไปนี้:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

คำถาม:พิสูจน์ว่า$\lim b_n=\infty$.


วิธีแก้ปัญหาที่ฉันแนะนำ:ฉันสามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ (ว่าขีด จำกัด ไม่ใช่อินฟินิตี้) ช่วยบอกหน่อยได้ไหมว่าฉันทำผิดอะไร

ฉันเอา $a_n$ ดังต่อไปนี้: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ แล้ว $b_n$ คือ: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ องค์ประกอบแรกยกเว้นองค์ประกอบสุดท้ายคือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มาบรรจบกัน $2$ เมื่อไหร่ $n$ ใหญ่เกินไปขีด จำกัด โดยรวมจึงเป็น $2+a_n$ ซึ่งไม่สิ้นสุดแน่นอน ...

คำตอบ

6 user Aug 18 2020 at 14:15

ในตัวอย่างของคุณมีบางอย่างไม่ได้ผลแน่นอนว่าคุณกำลังสมมติ

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

และดังนั้นจึง

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

เพื่อพิสูจน์ว่า $b_n \to \infty$โดย AM-GM เรามีสิ่งนั้น

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

แล้วสรุปโดยการบีบทฤษฎีบท

3 YvesDaoust Aug 18 2020 at 14:40

เราสามารถเขียน

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ ที่ไหน $c_k$ เป็นจำนวนบวก

ค่าต่ำสุดของ $b_n$ พบได้โดยการยกเลิกการไล่ระดับสี

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ หรือ $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

วิธีแก้คือ $p=c_k=1$ และ $b_n=n$ เป็นผลรวมที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ตามที่ @user พบ