ถ้า $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$max { $f$, $g$} กำหนด?

Question

ขณะนี้ฉันกำลังอ่านตำราเกี่ยวกับช่องว่างของเมตริกและพบคำศัพท์ต่อไปนี้สำหรับสองฟังก์ชันซึ่งดูเหมือนจะไม่พบว่ามีการกำหนดอย่างไร

ปล่อย $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$วิธีการคือสูงสุด {$f$,$g$} กำหนด? ในทำนองเดียวกันmin {$f,g$} กำหนด?

ฉันกำลังคิดว่าmax {$f$,$g$}: หมายถึงเพียงแค่รับค่าสูงสุดของ $f$ และ $g$และสูงสุด {$f$,$g$} ประกอบด้วยค่าเหล่านั้นทั้งหมด ในทำนองเดียวกันเพื่อรับค่าต่ำสุดของ$f$ และ $g$และmin {$f,g$} ประกอบด้วยค่าเหล่านั้นทั้งหมด

แรงจูงใจสำหรับสิ่งนี้คือฉันเจอปัญหาที่ถาม: ได้รับสองเมตริก $d_1$ และ $d_2$ (สำหรับ $(X_1,d_1)$ และ $(X_2,d_2)$ตามลำดับ) คือสูงสุด {$d_1$,$d_2$} เมตริกบน $X_1 \times X_2$เหรอ? อย่างไรก็ตามเพื่อเริ่มตอบคำถามนี้ฉันจำเป็นต้องกำหนดคำศัพท์ที่ฉันไม่คุ้นเคย

Answer 1

สำหรับการแก้ไขแต่ละครั้ง $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ คือจำนวนที่มากที่สุดระหว่างจำนวนจริงสองจำนวน $f(x)$ และ $g(x)$. การกำหนด$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่า $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

Answer 2

นี้ตามรูปแบบปกติสำหรับเลขคณิตฟังก์ชั่น

• $f+g$ คือฟังก์ชัน $x \mapsto f(x) + g(x)$.
• $f-g$ คือฟังก์ชัน $x \mapsto f(x) - g(x)$.
• $f\cdot g$ คือฟังก์ชัน $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
• $f/g$ คือฟังก์ชัน $x \mapsto f(x) / g(x)$.
• $\max\{f,g\}$ คือฟังก์ชัน $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

นั่นคือนิพจน์ฟังก์ชันผูกสล็อตตัวแปรโดเมนทั้งหมดเข้ากับสล็อตโดเมนเดียว

Answer 3

ถูกกำหนดให้เป็นที่คาดหวัง โปรดทราบว่าคุณมีฟังก์ชัน$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

เมื่อคุณประเมินทั้งสองฟังก์ชันที่ $x$คุณได้รับจำนวนจริง ดังนั้นคุณสามารถใช้$\max\{f(x),g(x)\}$และไม่จำเป็นต้องมีคำจำกัดความพิเศษเพราะทุกอย่างเกิดขึ้นกับค่าเรียลและฉันแน่ใจว่าคุณได้กำหนดค่าสูงสุดแล้ว

นอกจากนี้โปรดทราบว่า $\max(x,y)=\min(-x,-y)$ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่สอง

และสูงสุดสองเรียลกำหนดเป็น:

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

Answer 4

ดังที่คำตอบอื่น ๆ แสดงให้เห็น $\max\{f,g\}$คือกำหนดpointwise

สำหรับปัญหาที่กระตุ้นให้คุณหาคำตอบได้ที่คำถามนี้เมตริกสูงสุด 2 รายการคือเมตริก

Answer 5

มีสองฟังก์ชัน $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$เราสามารถกำหนดค่าสูงสุดได้ $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ โดย $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$และขั้นต่ำของพวกเขา $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ โดย $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$