ทุกชุดมี endomap แบบแข็งหรือไม่?

Aug 16 2020

ปล่อย $X$เป็นชุด สองเอนโดแมป$f,f':X\to X$มีรูปร่างสัณฐานเหมือนกันถ้ามี bijection$g:X\to X$ ดังนั้น $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. อคติ$g:X\to X$ น่าพอใจ $f=g\circ f\circ g^{-1}$เรียกว่าระบบอัตโนมัติของ $f$. เอกลักษณ์ของ$X$เป็นระบบอัตโนมัติเล็กน้อยของ$f$. เอนโดแมปมีความแข็งหากยอมรับว่าไม่มีระบบอัตโนมัติที่ไม่สำคัญ

ทุกชุดมี endomap แบบแข็งหรือไม่?

เห็นได้ชัดว่าการมีอยู่ของ endomap ที่เข้มงวดของชุดที่กำหนด $X$ ขึ้นอยู่กับความสำคัญเท่านั้น $|X|$ ของ $X$.

เราอ้างว่า:

ถ้า $|X|\le2^{\aleph_0}$แล้ว $X$ มี endomap ที่แข็ง

หลักฐาน:

ปล่อย $X$ เป็นชุดของ cardinality มากที่สุด $2^{\aleph_0}$และให้เราแสดงสิ่งนั้น $X$ มี endomap ที่แข็ง $f$. เราสามารถสันนิษฐานได้ว่า$X$ ไม่ว่างเปล่า

ถ้า $X=\{1,\ldots,n\}$ ด้วย $n\ge2$ เราตั้ง $f(i)=\max\{1,i-1\}$. ถ้า$X=\mathbb N$ เราตั้ง $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

ตอนนี้ถือว่า $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (พวกเราเขียน$|X|$ สำหรับจำนวนสมาชิกของ $X$.)

ปล่อย $I$ เป็นชุดของคลาส isomorphisms ของ endomaps แข็งของ $\mathbb N$. เราเรียกร้อง

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

ให้เราแสดงให้เห็นว่า (1) มีนัยอย่างนั้น $X$มี endomap ที่แข็ง เราสามารถสันนิษฐานได้$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ ที่ไหน $\bigsqcup$ หมายถึง "สหภาพที่ไม่ต่อเนื่อง" โดยที่ $J$ เป็น cardinality $|X|$ ชุดของเอนโดแมปแข็งที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิคของ $\mathbb N$, และที่ไหน $X_j=\mathbb N$ เพื่อทุกสิ่ง $j\in J$. แต่ละ$j$ ปล่อย $f_j$ เป็น endomap ของ $X_j$ ประเภท $j$. แล้ว$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (สัญกรณ์ที่ชัดเจน) คือ endomap แบบแข็งของ $X$.

ยังคงเป็นเพียงการพิสูจน์ (1)

ปล่อย $X_0,X_1,\ldots$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $\mathbb N$ ดังนั้น:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

สำหรับ $n\ge1$ ปล่อย $f_n:X_n\to X_{n-1}$ เป็นแผนที่ที่เส้นใยมีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันให้ $f_0$ เป็น endomap เดียวของ $X_0$และกำหนด $f:\mathbb N\to\mathbb N$ โดย $f(x)=f_n(x)$ ถ้า $x\in X_n$.

จากนั้นก็จะเห็นได้ง่ายว่า $f$ มีความแข็งและเรามีคลาส isomorphism ที่ต่อเนื่องกันของเอนโดแมปดังกล่าว $\mathbb N$.

คำตอบ

Pierre-YvesGaillard Aug 24 2020 at 00:19

คำถามได้รับคำตอบโดย YCor ใน MathOverlow

ฉันต้องการโพสต์คำตอบ wiki ของชุมชนซึ่งมีเฉพาะประโยคด้านบน แต่ซอฟต์แวร์แปลงเป็นความคิดเห็น ฉันกำลังลองอีกครั้งหลังจากเพิ่มประโยคปัจจุบันและข้อความที่ตัดตอนมาของคำตอบของ YCor ต่อไปนี้:

"... มีอยู่ (สำหรับ $X\neq\emptyset$) โครงสร้างต้นไม้ที่หยั่งรากบน $X$ซึ่งกลุ่ม Automorphism เป็นเรื่องเล็กน้อย อันที่จริงให้สิ่งนี้และแสดงถึง$v_0$ รากสำหรับจุดยอด $v$ กำหนด $f(v)$ เช่น $v_0$ ถ้า $v_0=v$และเป็นจุดยอดเฉพาะใน $[v_0,v]$ ที่ระยะ 1 ถึง $v$มิฉะนั้น. แล้ว$f\in X^X$ และศูนย์กลางใน $\mathrm{Sym}(X)$ เป็นกลุ่ม automorphism ของต้นไม้ที่ถูกรูทที่เกี่ยวข้องซึ่งลดลงเป็น $\{\mathrm{id}_X\}$.”