วิธีการให้ความร้อน (Crane et Al) เราจะเลือกคุณได้อย่างไร?
วิธีการให้ความร้อนเป็นเอกสารที่น่าสนใจมากสำหรับการคำนวณระยะทาง:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
แนวคิดเบื้องหลังกระดาษคือความร้อนจะเดินทางไปตามพื้นผิวของวัตถุโดยพื้นฐานแล้วในรูปแบบ geodesic เช่นเดียวกับแฟชั่น ดังนั้นเวลาที่ความร้อนใช้ในการเดินทางจากจุดร้อนไปยังจุดใด ๆ บนพื้นผิวจึงมีความสัมพันธ์กับระยะทางธรณีสัณฐาน
บทความนี้จะพิจารณากรณีทั่วไปในเชิงวิเคราะห์ก่อนจากนั้นจึงแนะนำแนวทางการแยกแยะ สิ่งที่ฉันสับสนมากคือการกล่าวถึงฟังก์ชันการไหลของความร้อน$u$ข้ามกระดาษ ลองพิจารณาสมการนี้เป็นตัวอย่าง:
นั่นคือตัวดำเนินการ laplacian แบบแยกที่ใช้กับ $u$ หรือ $\Delta u$. มีส่วนอื่น ๆ อีกมากมายในกระดาษที่กล่าวถึง$u$. จากการอ่านของฉัน$u$ น่าจะเป็นฟังก์ชั่นที่เหมาะสมซึ่งใกล้เคียงกับการไหลของความร้อนบนพื้นผิวของท่อร่วม?
ฉันไม่เห็นสมการของฟอร์มจริงๆ $u = \text{expression}$ และฉันไม่เห็นคำอธิบายคุณสมบัติหรือข้อเสนอแนะที่ดี $u$ฟังก์ชัน คืออะไร$u$เหรอ? ที่ไหน$u$มาจาก? ที่ไหน$u$ไป? ที่ไหน$u$มาจาก? โคตันฉันโอ?
คำตอบ
จากการอ่านของฉันดูเหมือนว่าคุณจะเป็นฟังก์ชันที่เหมาะสมซึ่งประมาณการไหลของความร้อนบนพื้นผิวของท่อร่วม?
$u$คือฟังก์ชั่นที่อธิบายว่าปริมาณของคุณทำงานอย่างไร / วิวัฒนาการในฟิลด์ใดฟิลด์หนึ่ง ในกระดาษปริมาณคืออุณหภูมิหรือฟลักซ์ความร้อนฉันเดา อย่างไรก็ตามส่วนใหญ่ไม่มีโซลูชัน / สูตรการวิเคราะห์สำหรับ$u$. นี่คือวิธีการเช่น Finite Elements (FEM) เข้ามามีบทบาท คุณสามารถประมาณค่าฟังก์ชันของคุณทีละส่วนโดยประมาณได้$u$.
ในกรณีของคุณคุณจะใช้ตาข่ายซึ่งเป็นการแยกแยะพื้นผิวของคุณอยู่แล้ว องค์ประกอบของคุณคือสามเหลี่ยมและคุณต้องกำหนดวิธีการสอดแทรกปริมาณปมภายในสามเหลี่ยมแต่ละอัน --- ที่นี่การแก้ไขเชิงเส้นน่าจะเป็นวิธีที่จะไป มิฉะนั้นคุณจะต้องกำหนดรูปทรงเรขาคณิตของคุณใหม่หรือแนะนำโหนดเพิ่มเติมเพื่อการประมาณที่สูงขึ้น
จากนั้นคุณต้องกำหนดค่าเริ่มต้นให้กับแต่ละโหนด / จุดยอด $u_0$ตามที่เขียนไว้ในคำตอบของ gilgamec หลังจากนั้นคุณจะสร้างและแก้ระบบองค์ประกอบ จำกัด ของคุณและรับการแจกแจงที่สำคัญของ$u$ที่แก้สมการหรือระบบสมการของคุณได้จริง ยิ่งตาข่ายของคุณได้รับการแก้ปัญหาที่ดีขึ้น การแก้ไขลำดับที่สูงขึ้นจะช่วยในเรื่องความถูกต้องด้วย
ดังนั้น $u$หรือค่าที่สำคัญของมันคือสิ่งที่คุณกำลังมองหาตามที่ lightxbulb กล่าวไว้ในความคิดเห็นของเขา เป็นปริมาณที่คุณไม่รู้จัก
หากยังไม่ได้ผลคุณอาจต้องการอ่านวรรณกรรมเกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ไม่สามารถบอกได้ว่าลิงก์ต่อไปนี้มีประโยชน์อย่างไร แต่เพียงแวบเดียวก็ดูมีแนวโน้มดี คุณจะเห็นว่าพวกเขาใช้$u$ทั่วทุกสถานที่. ดังนั้นฉันหวังว่าหนึ่งในนั้นจะช่วยคุณ:
- การแนะนำวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์อย่างอ่อนโยน
- PE281 Finite Element Method หมายเหตุหลักสูตร
- รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์
- การวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด ด้วยมือ
ฉันยังมีลิงก์ไปยังบทช่วยสอนออนไลน์ที่ดีซึ่งคล้ายกับลิงก์สุดท้ายที่ฉันให้ไว้ซึ่งช่วยฉันได้มากในการทำความเข้าใจพื้นฐาน ถ้าฉันพบลิงค์ฉันจะเพิ่มเข้าไปในคำตอบของฉัน
พบลิงค์ที่ฉันอ้างถึง น่าเสียดายที่เป็นภาษาเยอรมัน:
- FEM Handrechnung
ใช่สนาม $u$ในกรณีนี้คือการกระจายความร้อนโดยประมาณบนพื้นผิว พบได้โดยเริ่มต้นด้วย "ชุดเริ่มต้น" ของจุดยอด สิ่งเหล่านี้จะเป็นแหล่งที่มาของการแพร่กระจายและลงท้ายด้วย minima ท้องถิ่นในฟิลด์ระยะทาง การกระจายเริ่มต้น$u_0$ถูกตั้งค่าโดยมีค่า 1 ในชุดเริ่มต้นและ 0 ทุกที่ (อธิบายไว้ในหน้า 92 ของกระดาษที่คุณเชื่อมโยงภายใต้อัลกอริทึม 1 ทันที)
ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมคือการเรียกใช้ขั้นตอนเดียวของสมการความร้อนโดยการแก้สมการเชิงเส้น $(I - t\nabla)u = u_0$(สมการ 3 ในกระดาษ) สนาม$u$ คุณจะได้รับมีการแพร่กระจายความร้อนโดยประมาณที่คุณประมวลผลเพิ่มเติมเพื่อให้ได้ฟิลด์ระยะทาง