วิธีการโน้มน้าวตัวเอง (จินตนาการ) ว่า $\Bbb S^1$- การดำเนินการ $\Bbb S^3$ แก้ไขวงกลมทรงกลม?

Aug 16 2020

วิธีการโน้มน้าวตัวเอง (จินตนาการ) ว่า $\Bbb S^1$- การดำเนินการ $\Bbb S^3$ แก้ไขวงกลมทรงกลม?

เนื่องจากความคิดเห็นของ Jason DeVitoนี้จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นการกระทำของ$\Bbb S^1$ บน $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ ที่กำหนดโดย $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ แก้ไขวงกลมทั้งหมด $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. แต่ฉันนึกไม่ออกเพราะภาพรวมของการกระทำในความคิดของฉันคือการกระทำแบบวงกลมคือการหมุนดังนั้นจึงมีแกนหมุนและการหมุนรอบแกนนี้สามารถแก้ไขได้มากที่สุด 2 จุด เป็นไปได้ไหมที่แกนหมุนไม่ใช่เส้น

ตอนนี้ฉันจะคิดเกี่ยวกับการกระทำนี้ในเชิงเรขาคณิตได้อย่างไร $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.

แก้ไข:ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับการกระทำครั้งสุดท้ายคือ: ด้านหนึ่งของ$\Bbb S^3$ กำลังหมุนตามเข็มนาฬิกาและอีกด้านหนึ่งกำลังหมุนทวนเข็มนาฬิกา (ในระนาบที่แตกต่างจากการกระทำครั้งแรก) และการกระทำเหล่านี้ส่งผลต่อตรงกลางของทรงกลมและมันจะกลายเป็นแผลเป็นและหงิกงอตรงกลางเช่นเดียวกับทรงกระบอกถ้าเราหมุนขอบเขตของมันไปในทิศทางต่างๆมันจะหงิกงอ ตรงกลางเหมือนสกรู

คำตอบ

1 JasonDeVito Sep 02 2020 at 20:24

สำหรับฉันวิธีที่ฉันคิดเกี่ยวกับการหมุนเป็นผลมาจากทฤษฎีบททอรัสสูงสุดสำหรับ $\mathrm{SO}(n)$. กล่าวคือให้ใด ๆ$A\in \mathrm{SO}(n)$ (กล่าวคือการหมุนของ $\mathbb{R}^n$ ซึ่งแก้ไข $0$) มีพื้นฐานบางอย่างของ $\mathbb{R}^n$ ด้วยคุณสมบัติที่ตามเกณฑ์นี้ $A$ ประกอบด้วยพวงปกติ $2$- บล็อกการหมุนมิติ

อย่างแม่นยำมากขึ้นการเขียน $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ สำหรับเมทริกซ์การหมุนทวนเข็มนาฬิกามาตรฐานจะมีพื้นฐานปกติของ $\mathbb{R}^n$ ซึ่งใน $A$ ใช้รูปแบบเส้นทแยงมุมของบล็อก $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าการหมุนเป็นแนวคิดสองมิติโดยพื้นฐานซึ่งจะถูกบูตไปยังมิติที่สูงขึ้น ในความเป็นจริงมันให้สูตรสำหรับการสร้างการหมุนทั้งหมดของ$\mathbb{R}^n$: เลือกใดก็ได้ $2$- เครื่องบินและหมุนมันเล็กน้อย ในส่วนเสริมมุมฉากให้เลือกใด ๆ$2$- เครื่องบินและหมุนมัน ในส่วนเสริมมุมฉากของทั้งสอง$2$- เครื่องบินเลือกใด ๆ $2$- เครื่องบินและหมุน ฯลฯ

คิดเกี่ยวกับ $\mathbb{R}^3$ สักครู่การหมุนใน $xy$-plane ไม่เปลี่ยนระยะห่างจากจุดใน $xy$ ระนาบไปยังจุดใดก็ได้ใน $z$-แกน. ในความเป็นจริงการหมุนใน$xy$ เครื่องบินไม่มีผลกับ $z$แกน. การสลายตัวข้างต้นบ่งชี้ว่าแนวคิดนี้แพร่กระจายไปยังมิติที่สูงขึ้น ตัวอย่างเช่นใน$\mathbb{R}^4$ (พร้อมพิกัดบอกว่า $(x,y,z,t)$) การหมุนใน $xy$ ระนาบไม่เปลี่ยนระยะห่างจากจุดใน $xy$ ระนาบไปยังจุดหนึ่งใน $zt$ เครื่องบิน.

นี่คือเหตุผลตัวอย่างเช่นการดำเนินการของคุณ $\Bbb S^3$สามารถหมุนสองสิ่งในทิศทางตรงกันข้าม มันยากที่จะเห็นภาพ แต่การหมุนในไฟล์$xy$-plane ไม่มีผลกับไฟล์ $zt$- เครื่องบินจึงไม่มีการ "บิด" ของ $\Bbb S^3$ เกิดขึ้นในการกระทำของคุณ

ในทางกลับกันสำหรับการกระทำของกระบอกสูบโปรดทราบว่าการกระทำของคุณไม่ใช่การหมุน $\mathbb{R}^3$ถูก จำกัด ไว้ที่กระบอกสูบดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ข้อใดข้างต้นได้ อันที่จริงฉันจะไม่เรียกการกระทำของคุณกับกระบอกสูบว่าเป็นการหมุน มันคือการหมุนเวียนในแต่ละองค์ประกอบขอบเขต แต่ใครจะรู้ว่ามันอยู่ระหว่างอะไร!

6 LeeMosher Aug 16 2020 at 20:38

ไม่มีใครคาดหวังว่าจะมีการหมุนเวียนเข้ามา $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ มี "แกนการหมุน" ซึ่งเป็นเส้นคือสิ่งที่มีมิติจริง $1$. ในทางกลับกันคนหนึ่งจะคาดหวังว่า "แกนหมุน" ที่จะมี codimension จริง$2$ซึ่งมันทำ: เครื่องบินทั้งหมด $w_1=0$ได้รับการแก้ไข และเมื่อคุณตัดกับระนาบนั้นด้วย$S^3$ คุณจะได้วงกลมที่ได้รับการแก้ไข

หากคุณต้องการเห็นภาพตัวอย่างนี้สามารถทำได้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $S^3$ คือการย่อจุดเดียวของ $\mathbb R^3$ซึ่งผมจะเขียนเป็น $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. ในแบบจำลองนี้เราสามารถเห็นภาพวงกลมของจุดคงที่เป็นวงกลมหน่วยในไฟล์$x,y$-เครื่องบิน: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ นอกวงกลมของจุดคงที่นี้วงโคจรอื่น ๆ ของการกระทำคือวงกลมและเราสามารถเห็นภาพวงโคจรของวงกลมเหล่านี้ใน $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ โดยใช้ $(r,\theta,z)$พิกัดทรงกระบอกดังนี้ หนึ่งในวงโคจรคือ$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. จากนั้นสำหรับแต่ละมุมคงที่$\theta_0$เครื่องบินครึ่งหนึ่ง $\theta = \theta_0$ เจาะวงกลมคงที่ที่จุดเดียว $P(\theta_0)$ พร้อมพิกัด $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$ขอบขอบเขตของระนาบครึ่งนั้นคือ $z$- แกนซึ่งเป็นวงโคจรและส่วนที่เหลือของครึ่งระนาบนั้นถูกสร้างขึ้นโดยวงโคจรของวงโคจรซึ่งเข้าใกล้จุดเดียวในทิศทางเดียวจะเล็กลงและเล็กลงและซึ่งเข้าใกล้ $z$- แกนในทิศทางอื่น ๆ มีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ (ในเมตริกไฮเพอร์โบลิก $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ บนครึ่งระนาบนี้คือวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ตรงกลาง $P(\theta_0)$).