อ่อนแอ * บรรจบกับคอนเวอร์เจนอย่างมาก

Question

ฉันอ่านใน Kreyszig คำจำกัดความต่อไปนี้

$\textbf{Definition:}$ ปล่อย $X,Y$ ช่องว่างที่กำหนดและ $T_n:X \rightarrow Y$ลำดับของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต เราว่าอย่างนั้น$T_n$ มาบรรจบกันอย่างมากถึง $T:X\rightarrow Y$ ถ้า

$$ \Vert T_n(x)- T(x) \Vert \to 0 , \forall x\in X $$

$\textbf{Definition:}$ ปล่อย $X$ ช่องว่างที่เป็นบรรทัดฐานและ $f_n \in X'$ลำดับ เราว่าอย่างนั้น$f_n$ มาบรรจบกันอย่างอ่อน ๆ * หากมีอยู่ $f\in X'$ ดังนั้น

$$ \vert f_n(x) - f(x) \vert \to 0, \forall x\in X $$

ในกรณีแรก $T$ อาจไม่ถูกผูกมัดหาก $X$ยังไม่สมบูรณ์ ใส่$Y=\mathbb{R}$ คำจำกัดความเกือบจะเหมือนกันยกเว้นความจริงที่ว่าในวินาทีที่พวกเขาบอกอย่างนั้น $f$ จะต้องมีความต่อเนื่องและไม่แรก

ข้อสงสัยของฉันเกิดขึ้นเนื่องจากผู้เขียนแสดงความคิดเห็นว่าในกรณีของการทำงานกับฟังก์ชันเชิงเส้นคำจำกัดความแรกเกิดขึ้นพร้อมกับข้อที่สอง แต่ฉันคิดว่ามันไม่เหมือนกัน

ดูหน้า 266 จาก Kreyszig: Introductory Functional Analysis กับแอปพลิเคชัน

Answer 1

คำจำกัดความทั้งสองไม่เทียบเท่ากันเมื่อ $Y=\mathbb C$ และ $X$ยังไม่สมบูรณ์ ปล่อย$X$ เป็นช่องว่างของพหุนามตรีโกณมิติบน $[0,2\pi]$ กับ $L^2$- บรรทัดฐานและปล่อยให้ $f_n:X\to\mathbb C$ ถูกกำหนดโดยส่วนขยายเชิงเส้นของ $$f_n(e^{ikx})=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{if }|k|\leq n,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array}\right.$$ จากนั้นลำดับ $\{f_n\}$ ใน $X^*$ มาบรรจบกันอย่างมากกับฟังก์ชันที่ไม่มีขอบเขตดังนั้นจึงไม่สามารถรวมกันที่อ่อนแอได้$^*$ เพื่อการทำงานที่ไร้ขอบเขต